Matematika Berhingga Contoh

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

Langkah 1

Atur argumen dalam $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

Langkah 2.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

Langkah 2.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

Langkah 2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.2.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.2.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

Langkah 2.1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

Langkah 2.2

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Langkah 2.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 1$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.6.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.7.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.7.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.7.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.9

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.10

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.11

Tentukan domain dari $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} - 1}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 2.11.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 2.12

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 2.13

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Uji nilai pada interval $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1.1

Pilih nilai pada interval $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 3$

Langkah 2.13.1.2

Ganti $x$ dengan $- 3$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

Langkah 2.13.1.3

Sisi kiri $- 3.\overline{6}$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.13.2

Uji nilai pada interval $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 0.31$

Langkah 2.13.2.2

Ganti $x$ dengan $- 0.31$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

Langkah 2.13.2.3

Sisi kiri $1.91580645$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.13.3

Uji nilai pada interval $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.3.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 2.13.3.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

Langkah 2.13.3.3

Sisi kiri $- 1$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.13.4

Uji nilai pada interval $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.4.1

Pilih nilai pada interval $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 2.13.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

Langkah 2.13.4.3

Sisi kiri $2.75$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.13.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Salah

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Benar

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Salah

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Benar

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Salah

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Benar

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Salah

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Benar

Langkah 2.14

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ atau $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} - 1}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 4

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Langkah 5