Matematika Berhingga Contoh

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $p$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 p^{3}$ .

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $4$ dari $16 p^{2}$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $4$ dari $28 p$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $4$ dari $- 48$ .

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $4$ dari $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.6

Faktorkan $4$ dari $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.7

Faktorkan $4$ dari $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Langkah 2.2.2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Langkah 2.2.2.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Langkah 2.2.2.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Langkah 2.2.2.1.3.3

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

Langkah 2.2.2.1.3.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

Langkah 2.2.2.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

Langkah 2.2.2.1.3.6

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$5 + 7 - 12$

Langkah 2.2.2.1.3.7

Tambahkan $5$ dan $7$ .

$12 - 12$

Langkah 2.2.2.1.3.8

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$0$

Langkah 2.2.2.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $p - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

Langkah 2.2.2.1.5

Bagilah $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ dengan $p - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

Langkah 2.2.2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $p^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $p$ .

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

Langkah 2.2.2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

Langkah 2.2.2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $p^{3} - p^{2}$

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

Langkah 2.2.2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

Langkah 2.2.2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Langkah 2.2.2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 p^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Langkah 2.2.2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

Langkah 2.2.2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 p^{2} - 5 p$

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

Langkah 2.2.2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

Langkah 2.2.2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Langkah 2.2.2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $12 p$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Langkah 2.2.2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

Langkah 2.2.2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $12 p - 12$

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

Langkah 2.2.2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

Langkah 2.2.2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$p^{2} + 5 p + 12$

Langkah 2.2.2.1.6

Tulis $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ sebagai himpunan faktor.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Langkah 2.4

Atur $p - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $p$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $p - 1$ sama dengan $0$ .

$p - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$p = 1$

Langkah 2.5

Atur $p^{2} + 5 p + 12$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $p$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $p^{2} + 5 p + 12$ sama dengan $0$ .

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ untuk $p$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 5$ , dan $c = 12$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $p$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.3.1.3

Kurangi $48$ dengan $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.3.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.4.1.3

Kurangi $48$ dengan $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.4.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.4.4

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Langkah 2.5.2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Langkah 2.5.2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.5.1.3

Kurangi $48$ dengan $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.5.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.5.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.5.4

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Langkah 2.5.2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Langkah 2.5.2.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ benar.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Langkah 2.7

Identifikasi koefisien pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Suku pertama pada polinomial adalah suku dengan pangkat tertinggi.

$4 p^{3}$

Langkah 2.7.2

Koefisien pertama pada polinomial adalah koefisien dari suku pertamanya.

$4$

Langkah 2.8

Karena tidak ada perpotongan sumbu x yang nyata dan koefisien pertamanya positif, maka parabolanya membuka ke atas dan $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ selalu lebih besar dari $0$ .

Semua bilangan riil

Langkah 3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${p | p \in ℝ}$

Langkah 4