Matematika Berhingga Contoh

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

Langkah 1

Tentukan perpotongan sumbu x.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk mencari perpotongan sumbu x, substitusikan $0$ ke $y$ dan selesaikan $x$ .

$0 = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$

Langkah 1.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Langkah 1.2.2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Langkah 1.2.2.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Langkah 1.2.2.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Langkah 1.2.2.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Langkah 1.2.2.1.3.4

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

Langkah 1.2.2.1.3.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

Langkah 1.2.2.1.3.6

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

Langkah 1.2.2.1.3.7

Kalikan $13$ dengan $1$ .

$2 + 13 - 15$

Langkah 1.2.2.1.3.8

Tambahkan $2$ dan $13$ .

$15 - 15$

Langkah 1.2.2.1.3.9

Kurangi $15$ dengan $15$ .

$0$

Langkah 1.2.2.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

Langkah 1.2.2.1.5

Bagilah $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

Langkah 1.2.2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

Langkah 1.2.2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 1.2.2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 1.2.2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Langkah 1.2.2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Langkah 1.2.2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Langkah 1.2.2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 1.2.2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{2} - 2 x$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 1.2.2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

Langkah 1.2.2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Langkah 1.2.2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $15 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Langkah 1.2.2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Langkah 1.2.2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $15 x - 15$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Langkah 1.2.2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Langkah 1.2.2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$- x^{2} + 2 x + 15$

Langkah 1.2.2.1.6

Tulis $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ dan yang jumlahnya adalah $b = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 3$ ditambah $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.2.5

Atur $- x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $- x - 3$ sama dengan $0$ .

$- x - 3 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $- x - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$- x = 3$

Langkah 1.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.3.1

Bagilah $3$ dengan $- 1$ .

$x = - 3$

Langkah 1.2.6

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 1.2.6.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ benar.

$x = 1, - 3, 5$

Langkah 1.3

perpotongan sumbu x dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu x: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

Langkah 2

Tentukan perpotongan sumbu y.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk mencari perpotongan sumbu y, substitusikan $0$ ke $x$ dan selesaikan $y$ .

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2.4

Hilangkan tanda kurung.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan $- {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = - 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2.5.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2.5.1.4

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 13 (0) - 15$

Langkah 2.2.5.1.5

Kalikan $13$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 15$

Langkah 2.2.5.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 0 - 15$

Langkah 2.2.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 - 15$

Langkah 2.2.5.2.3

Kurangi $15$ dengan $0$ .

$y = - 15$

Langkah 2.3

perpotongan sumbu y dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu y: $(0, - 15)$

Langkah 3

Sebutkan perpotongan-perpotongannya.

perpotongan sumbu x: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

perpotongan sumbu y: $(0, - 15)$

Langkah 4