Matematika Berhingga Contoh

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Langkah 1

Tentukan perpotongan sumbu x.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk mencari perpotongan sumbu x, substitusikan $0$ ke $y$ dan selesaikan $x$ .

$0 = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Langkah 1.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$ .

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

Langkah 1.2.2.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

Langkah 1.2.2.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

${(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Langkah 1.2.2.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Langkah 1.2.2.3.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 35 \cdot - 1 - 39$

Langkah 1.2.2.3.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$- 1 + 5 - 35 \cdot - 1 - 39$

Langkah 1.2.2.3.5

Tambahkan $- 1$ dan $5$ .

$4 - 35 \cdot - 1 - 39$

Langkah 1.2.2.3.6

Kalikan $- 35$ dengan $- 1$ .

$4 + 35 - 39$

Langkah 1.2.2.3.7

Tambahkan $4$ dan $35$ .

$39 - 39$

Langkah 1.2.2.3.8

Kurangi $39$ dengan $39$ .

$0$

Langkah 1.2.2.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39}{x + 1}$

Langkah 1.2.2.5

Bagilah $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$35 x$

$39$

Langkah 1.2.2.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$

Langkah 1.2.2.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Langkah 1.2.2.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Langkah 1.2.2.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Langkah 1.2.2.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Langkah 1.2.2.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$

Langkah 1.2.2.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Langkah 1.2.2.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 39 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Langkah 1.2.2.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							-	$39 x$	-	$39$

Langkah 1.2.2.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 39 x - 39$

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$

Langkah 1.2.2.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$
										$0$

Langkah 1.2.2.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 4 x - 39$

Langkah 1.2.2.6

Tulis $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.2.5

Atur $x^{2} + 4 x - 39$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x^{2} + 4 x - 39$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $x^{2} + 4 x - 39 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.2.5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 4$ , dan $c = - 39$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 39)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.3

Tambahkan $16$ dan $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.4

Tulis kembali $172$ sebagai $2^{2} \cdot 43$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Langkah 1.2.5.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Langkah 1.2.5.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.3

Tambahkan $16$ dan $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.4

Tulis kembali $172$ sebagai $2^{2} \cdot 43$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Langkah 1.2.5.2.4.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Langkah 1.2.5.2.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{43}$

Langkah 1.2.5.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.3

Tambahkan $16$ dan $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.4

Tulis kembali $172$ sebagai $2^{2} \cdot 43$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.5.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Langkah 1.2.5.2.5.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Langkah 1.2.5.2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{43}$

Langkah 1.2.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$ benar.

$x = - 1, - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Langkah 1.3

perpotongan sumbu x dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu x: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

Langkah 2

Tentukan perpotongan sumbu y.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk mencari perpotongan sumbu y, substitusikan $0$ ke $x$ dan selesaikan $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Langkah 2.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Langkah 2.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Langkah 2.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan ${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Langkah 2.2.4.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 + 5 \cdot 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Langkah 2.2.4.1.3

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Langkah 2.2.4.1.4

Kalikan $- 35$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 39$

Langkah 2.2.4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 0 - 39$

Langkah 2.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 - 39$

Langkah 2.2.4.2.3

Kurangi $39$ dengan $0$ .

$y = - 39$

Langkah 2.3

perpotongan sumbu y dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu y: $(0, - 39)$

Langkah 3

Sebutkan perpotongan-perpotongannya.

perpotongan sumbu x: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

perpotongan sumbu y: $(0, - 39)$

Langkah 4