Matematika Berhingga Contoh

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan asimtot.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan di mana pernyataan $e^{- x} \cdot \ln (x)$ tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 1.2

Karena $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kiri dan $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kanan, maka $x = 0$ adalah asimtot tegak.

$x = 0$

Langkah 1.3

Evaluasi $lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali $e^{- x} \ln (x)$ sebagai $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Langkah 1.3.2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 1.3.2.1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Langkah 1.3.2.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.3.2.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.3.2.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 1.3.2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 1.3.2.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Langkah 1.3.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Langkah 1.3.2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Langkah 1.3.2.5

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Langkah 1.3.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x e^{x}}$ mendekati $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = 0$

Langkah 1.5

Tidak ada asimtot miring yang ditunjukkan untuk fungsi logaritma dan trigonometri.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 1.6

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = 0$

Asimtot Datar: $y = 0$

Asimtot Tegak: $x = 0$

Asimtot Datar: $y = 0$

Langkah 2

Tentukan titik pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Langkah 2.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Langkah 2.2.4

Kalikan $\frac{1}{e}$ dengan $0$ .

$f (1) = 0$

Langkah 2.2.5

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Konversikan $0$ ke desimal.

$y = 0$

Langkah 3

Tentukan titik pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{e^{2}}$ dan $\ln (2)$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Langkah 3.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Langkah 3.3

Konversikan $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ ke desimal.

$y = 0.09380727$

Langkah 4

Tentukan titik pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Langkah 4.2.3

Gabungkan $\frac{1}{e^{3}}$ dan $\ln (3)$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Langkah 4.3

Konversikan $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ ke desimal.

$y = 0.05469668$

Langkah 5

Fungsi logaritma dapat digambarkan menggunakan asismtot tegak pada $x = 0$ dan titik-titik $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Asimtot Tegak: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Langkah 6