Matematika Berhingga Contoh

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan asimtot.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ tidak terdefinisi.

$x \leq - 5, x = 0$

Langkah 1.2

Karena $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 5$ dari kiri dan $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 5$ dari kanan, maka $x = - 5$ adalah asimtot tegak.

$x = - 5$

Langkah 1.3

Karena $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kiri dan $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kanan, maka $x = 0$ adalah asimtot tegak.

$x = 0$

Langkah 1.4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 5, 0$

Langkah 1.5

Dengan mengabaikan logaritma, pertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ adalah pangkat dari pembilang dan $m$ adalah pangkat dari penyebut.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 1.6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Langkah 1.7

Karena $n < m$ , sumbu x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

$y = 0$

Langkah 1.8

Tidak ada asimtot miring yang ditunjukkan untuk fungsi logaritma dan trigonometri.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 1.9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 5, 0$

Asimtot Datar: $y = 0$

Asimtot Tegak: $x = - 5, 0$

Asimtot Datar: $y = 0$

Langkah 2

Tentukan titik pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan $5 \ln (1 + 5)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Langkah 2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Langkah 2.2.3.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Langkah 2.2.4

Bagilah $\ln (7776)$ dengan $1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

Langkah 2.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

Langkah 2.3

Konversikan $\ln (7776)$ ke desimal.

$y = 8.95879734$

Langkah 3

Tentukan titik pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $5 \ln (2 + 5)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Tambahkan $2$ dan $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Langkah 3.2.3.2

Naikkan $7$ menjadi pangkat $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali $\frac{\ln (16807)}{4}$ sebagai $\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan $\frac{1}{4} \ln (16807)$ dengan memindahkan $\frac{1}{4}$ ke dalam logaritma.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Langkah 3.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Langkah 3.3

Konversikan $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ ke desimal.

$y = 2.43238768$

Langkah 4

Tentukan titik pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $5 \ln (3 + 5)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Tambahkan $3$ dan $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Langkah 4.2.3.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali $\ln (32768)$ sebagai $\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Langkah 4.2.5

Perluas $\ln (2^{15})$ dengan memindahkan $15$ ke luar logaritma.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Langkah 4.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Langkah 4.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Langkah 4.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Langkah 4.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Langkah 4.2.7

Sederhanakan $5 \ln (2)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Langkah 4.2.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Langkah 4.2.9

Tulis kembali $\frac{\ln (32)}{3}$ sebagai $\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Langkah 4.2.10

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (32)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Langkah 4.2.11

Jawaban akhirnya adalah $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Langkah 4.3

Konversikan $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ ke desimal.

$y = 1.1552453$

Langkah 5

Fungsi logaritma dapat digambarkan menggunakan asismtot tegak pada $x = - 5, 0$ dan titik-titik $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Asimtot Tegak: $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Langkah 6