Matematika Berhingga Contoh

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $4 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

Langkah 1.1.3

Pindahkan $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

Langkah 1.1.4

Pindahkan $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

Langkah 1.2

Tambahkan $63$ ke kedua sisi persamaan.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

Langkah 1.3

Selesaikan kuadrat dari $9 x^{2} - 18 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Langkah 1.3.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.3.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 18$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Langkah 1.3.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.3.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 9}{9}$

Langkah 1.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 9$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Langkah 1.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Langkah 1.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 1.3.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.3.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1.1

Naikkan $- 18$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.3.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Langkah 1.3.4.2.1.3

Bagilah $324$ dengan $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Langkah 1.3.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$e = 0 - 9$

Langkah 1.3.4.2.2

Kurangi $9$ dengan $0$ .

$e = - 9$

Langkah 1.3.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Langkah 1.4

Substitusikan $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ untuk $9 x^{2} - 18 x$ dalam persamaan $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

Langkah 1.5

Pindahkan $- 9$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $9$ ke kedua sisinya.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

Langkah 1.6

Selesaikan kuadrat dari $- 4 y^{2} - 24 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Langkah 1.6.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.6.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 24$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.6.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Langkah 1.6.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.6.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Langkah 1.6.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.2.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Langkah 1.6.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.2.2.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{3}{1}$

Langkah 1.6.3.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$d = 3$

Langkah 1.6.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Langkah 1.6.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.2.1.1

Naikkan $- 24$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Langkah 1.6.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Langkah 1.6.4.2.1.3

Bagilah $576$ dengan $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Langkah 1.6.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Langkah 1.6.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $36$ .

$e = 36$

Langkah 1.6.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Langkah 1.7

Substitusikan $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ untuk $- 4 y^{2} - 24 y$ dalam persamaan $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

Langkah 1.8

Pindahkan $36$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $36$ ke kedua sisinya.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

Langkah 1.9

Sederhanakan $63 + 9 - 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Tambahkan $63$ dan $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Langkah 1.9.2

Kurangi $36$ dengan $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Langkah 1.10

Bagi setiap suku dengan $36$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Langkah 1.11

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan asimtot dari hiperbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Langkah 4

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Langkah 5

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Langkah 5.2

Sederhanakan $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

Langkah 5.2.1.4.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

Langkah 5.2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

Langkah 5.2.2

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

Langkah 5.2.5.2

Kurangi $6$ dengan $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 5.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Langkah 6

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Langkah 6.2

Sederhanakan $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Langkah 6.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

Langkah 6.2.1.4.2

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Langkah 6.2.1.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

Langkah 6.2.5.2

Kurangi $6$ dengan $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 6.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Langkah 7

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Langkah 8

Asimtotnya adalah $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ dan $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

Asimtot: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Langkah 9