Matematika Berhingga Contoh

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

Langkah 1

Perluas $(k + 1) (k + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

Langkah 1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

Langkah 1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Langkah 2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan $k$ dengan $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.2

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.3

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

Langkah 2.2

Tambahkan $k$ dan $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

Langkah 3

Untuk menuliskan $k^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

Langkah 4

Gabungkan $k^{2}$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Langkah 6

Susun kembali suku-suku.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

Langkah 7

Faktorkan $\frac{1}{6}$ dari masing-masing suku.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 8

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 9

Kalikan $k$ dengan $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 10

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 11

Perluas $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 11.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 11.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.2

Kalikan $k^{2}$ dengan $k$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Pindahkan $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.2.2

Kalikan $k$ dengan $k^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.1

Naikkan $k$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.3

Kalikan $k^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.5

Kalikan $k$ dengan $k$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.5.1

Pindahkan $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.5.2

Kalikan $k$ dengan $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.1.6

Kalikan $k$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 12.2

Tambahkan $k^{2}$ dan $2 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Langkah 13

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

Langkah 14

Tambahkan $12 k$ dan $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

Langkah 15

Tambahkan $3 k^{2}$ dan $6 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

Langkah 16

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Tulis kembali $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Faktorkan $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 16.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Langkah 16.1.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Langkah 16.1.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Langkah 16.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Langkah 16.1.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

Langkah 16.1.1.3.5

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

Langkah 16.1.1.3.6

Tambahkan $- 2$ dan $9$ .

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

Langkah 16.1.1.3.7

Kalikan $13$ dengan $- 1$ .

$7 - 13 + 6$

Langkah 16.1.1.3.8

Kurangi $13$ dengan $7$ .

$- 6 + 6$

Langkah 16.1.1.3.9

Tambahkan $- 6$ dan $6$ .

$0$

Langkah 16.1.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $k + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

Langkah 16.1.1.5

Bagilah $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ dengan $k + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

Langkah 16.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 k^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $k$ .

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

Langkah 16.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

Langkah 16.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 k^{3} + 2 k^{2}$

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

Langkah 16.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

Langkah 16.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Langkah 16.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $7 k^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Langkah 16.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

Langkah 16.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $7 k^{2} + 7 k$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

Langkah 16.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

Langkah 16.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Langkah 16.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 k$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Langkah 16.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

Langkah 16.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 k + 6$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

Langkah 16.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

Langkah 16.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

Langkah 16.1.1.6

Tulis $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ sebagai himpunan faktor.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

Langkah 16.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ dan yang jumlahnya adalah $b = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1.1.1

Faktorkan $7$ dari $7 k$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

Langkah 16.1.2.1.1.2

Tulis kembali $7$ sebagai $3$ ditambah $4$

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

Langkah 16.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

Langkah 16.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

Langkah 16.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

Langkah 16.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 k + 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

Langkah 16.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

Langkah 16.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$