Matematika Berhingga Contoh

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Langkah 3.2

Substitusikan $u$ untuk $\sqrt{e^{y} + 1}$ .

$\sin (u) = x$

Langkah 3.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $u$ dari dalam sinus.

$u = \arcsin (x)$

Langkah 3.4

Mensubstitusikan $\sqrt{e^{y} + 1}$ untuk $u$ dan selesaikan $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{e^{y} + 1}$ sebagai ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Sederhanakan ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Langkah 3.4.2.2.1.2

Sederhanakan.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Langkah 3.4.3.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Langkah 3.4.3.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Perluas $\ln (e^{y})$ dengan memindahkan $y$ ke luar logaritma.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Langkah 3.4.3.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Langkah 3.4.3.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ merupakan balikan dari $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Langkah 5.3.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Langkah 5.3.4

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Langkah 5.3.5

Tambahkan ${\arcsin (x)}^{2}$ dan $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Langkah 5.3.7

Fungsi sinus dan arcsinus adalah balikan.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ merupakan balikan dari $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$