Matematika Berhingga Contoh

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan persamaannya dengan $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

Langkah 3.3.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ dengan $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

Langkah 3.3.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

Langkah 3.3.1.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Langkah 3.3.1.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Langkah 3.3.1.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Langkah 3.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Langkah 3.3.1.4.2.2

Bagilah $8 y$ dengan $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangkan $8 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

Langkah 3.4.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.4.3

Substitusikan nilai-nilai $a = x$ , $b = - 8$ , dan $c = - 64 x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.5

Faktorkan $64$ dari $64 + 256 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.5.1

Faktorkan $64$ dari $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.5.2

Faktorkan $64$ dari $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.5.3

Faktorkan $64$ dari $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.6

Tulis kembali $64 (1 + 4 x^{2})$ sebagai $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.6.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.6.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.1.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.5

Faktorkan $64$ dari $64 + 256 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.5.1

Faktorkan $64$ dari $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.5.2

Faktorkan $64$ dari $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.5.3

Faktorkan $64$ dari $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.6

Tulis kembali $64 (1 + 4 x^{2})$ sebagai $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.6.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.6.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.1.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.5.2

Sederhanakan $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.5.4

Faktorkan $4$ dari $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.4.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.5.4.2

Faktorkan $4$ dari $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.5

Faktorkan $64$ dari $64 + 256 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.5.1

Faktorkan $64$ dari $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.5.2

Faktorkan $64$ dari $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.5.3

Faktorkan $64$ dari $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.6

Tulis kembali $64 (1 + 4 x^{2})$ sebagai $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.6.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.6.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.1.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Langkah 3.4.6.2

Sederhanakan $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.6.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.6.4

Faktorkan $4$ dari $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.4.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.6.4.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Langkah 3.4.6.4.3

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ .

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Langkah 3.4.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ dan $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$4 x^{2} \geq - 1$

Langkah 5.3.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x^{2} \geq - 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{2} \geq - 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Langkah 5.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Langkah 5.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

Langkah 5.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

Langkah 5.3.2.3

Karena sisi kiri memiliki pangkat genap, maka selalu positif untuk semua bilangan riil.

Semua bilangan riil

Langkah 5.3.3

Atur penyebut dalam $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 5.3.4

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Tidak ada balikan

Langkah 6