Matematika Berhingga Contoh

${(1 + 2 i)}^{3}$

Langkah 1

Segitiga Pascal dapat ditampilkan sebagai berikut:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Segitiganya dapat digunakan untuk menghitung koefisien dari perluasan ${(a + b)}^{n}$ dengan mengambil pangkat $n$ dan menambahkan $1$ . Koefisien akan sesuai dengan garis $n + 1$ dari segitiga. Untuk ${(1 + 2 i)}^{3}$ $n = 3$ sehingga koefisien dari perluasan akan sesuai dengan garis $4$ .

Langkah 2

Perluasan mengikuti aturan ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Nilai-nilai koefisien, dari segitiga, adalah $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a$ $1$ dan $b$ $2 i$ ke dalam pernyataannya.

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $1$ dengan ${(1)}^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Kalikan $1$ dengan ${(1)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.1

Naikkan $1$ menjadi pangkat $1$ .

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan $1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan.

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.8

Evaluasi eksponennya.

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.9

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.10

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 i$ .

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.12

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.13

Kalikan $3 (4 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.13.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.13.2

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.14

Kalikan $1$ dengan ${(1)}^{0}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.14.1

Kalikan $1$ dengan ${(1)}^{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.14.1.1

Naikkan $1$ menjadi pangkat $1$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.14.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.14.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.15

Sederhanakan $1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Langkah 4.1.16

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 i$ .

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Langkah 4.1.17

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Langkah 4.1.18

Faktorkan $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Langkah 4.1.19

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Langkah 4.1.20

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Langkah 4.1.21

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $12$ dengan $1$ .

$- 11 + 6 i - 8 i$

Langkah 4.2.2

Kurangi $8 i$ dengan $6 i$ .

$- 11 - 2 i$