Matematika Berhingga Contoh

$2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$2 {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \cdot 1 - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

Langkah 4.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

Langkah 4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 - 3 \cdot 1 + 3 (1) - 2$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$2 - 3 + 3 (1) - 2$

Langkah 4.1.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$2 - 3 + 3 - 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$- 1 + 3 - 2$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$2 - 2$

Langkah 4.2.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(2)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$

	$2$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 3)$ .

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$
	$2$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$
	$2$	$- 1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$
	$2$	$- 1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(3)$ .

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 2)$ .

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$	$2$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$	$2$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$2 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 1) x + 2$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$2 x^{3} - x^{2} - x + 2$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 7.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Langkah 7.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$2 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

Langkah 7.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

Langkah 7.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

Langkah 7.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 - 1 \cdot 1 + 1 + 2$

Langkah 7.1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 - 1 + 1 + 2$

Langkah 7.1.3.6

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$- 3 + 1 + 2$

Langkah 7.1.3.7

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$- 2 + 2$

Langkah 7.1.3.8

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 7.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - x + 2}{x + 1}$

Langkah 7.1.5

Bagilah $2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

Langkah 7.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$

Langkah 7.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 7.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 7.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Langkah 7.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

Langkah 7.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

Langkah 7.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 7.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 7.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$

Langkah 7.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Langkah 7.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Langkah 7.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Langkah 7.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x + 2$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Langkah 7.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Langkah 7.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 x^{2} - 3 x + 2$

Langkah 7.1.6

Tulis $2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) (2 x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Langkah 7.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 7.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 7.4

Atur $2 x^{2} - 3 x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $2 x^{2} - 3 x + 2$ sama dengan $0$ .

$2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Langkah 7.4.2

Selesaikan $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = - 3$ , dan $c = 2$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.3.1.3

Kurangi $16$ dengan $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.3.1.4

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (7)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 7.4.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.4.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.4.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.4.1.3

Kurangi $16$ dengan $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.4.1.4

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (7)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 7.4.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 7.4.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.5.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.5.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.5.1.3

Kurangi $16$ dengan $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.5.1.4

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (7)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 7.4.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 7.4.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 7.4.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (2 x^{2} - 3 x + 2) = 0$ benar.

$x = - 1, \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 1) (x + 1) (x - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}) (x - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2$ .

$x = 1, - 1, \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 10