Matematika Berhingga Contoh

$4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$0$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$4 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 0$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Langkah 4.1.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Langkah 4.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 48 (0)$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 48 (0)$

Langkah 4.1.5

Kalikan $48$ dengan $0$ .

$0 + 0 + 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 5

Karena $0$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 0$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x}{x + 0}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(4)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$

	$4$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(4)$ dengan pembagi $(0)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 2)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$
	$4$	$- 2$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 2)$ dengan pembagi $(0)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(48)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(48)$ dengan pembagi $(0)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$0$	$4$	$- 2$	$48$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$4$	$- 2$	$48$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$4 x^{2} + - 2 x + 48$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$4 x^{2} - 2 x + 48$

Langkah 7

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2} - 2 x + 48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2}$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) - 2 x + 48)$

Langkah 7.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 48)$

Langkah 7.3

Faktorkan $2$ dari $48$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (24))$

Langkah 7.4

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x) + 2 (24))$

Langkah 7.5

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{2} - x) + 2 (24)$ .

$(x + 0) (2 (2 x^{2} - x + 24))$

Langkah 8

Faktorkan $2 x$ dari $4 x^{3} - 2 x^{2} + 48 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $2 x$ dari $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 2 x^{2} + 48 x = 0$

Langkah 8.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 48 x = 0$

Langkah 8.3

Faktorkan $2 x$ dari $48 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (24) = 0$

Langkah 8.4

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24) = 0$

Langkah 8.5

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (2 x^{2} - x) + 2 x (24)$ .

$2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$

Langkah 9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Langkah 10

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 11

Atur $2 x^{2} - x + 24$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $2 x^{2} - x + 24$ sama dengan $0$ .

$2 x^{2} - x + 24 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $2 x^{2} - x + 24 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 11.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = - 1$ , dan $c = 24$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 24)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.3.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.3.1.3

Kurangi $192$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.3.1.4

Tulis kembali $- 191$ sebagai $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (191)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Langkah 11.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.4.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.4.1.3

Kurangi $192$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.4.1.4

Tulis kembali $- 191$ sebagai $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (191)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Langkah 11.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.5.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $24$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 192}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.5.1.3

Kurangi $192$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.5.1.4

Tulis kembali $- 191$ sebagai $- 1 (191)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (191)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{191}}{4}$

Langkah 11.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Langkah 11.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Langkah 12

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 x (2 x^{2} - x + 24) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{1 + i \sqrt{191}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{191}}{4}$

Langkah 13