Matematika Berhingga Contoh

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = \frac{1}{2}$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Langkah 4.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Langkah 4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Langkah 4.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Langkah 4.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Langkah 4.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

Langkah 4.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

Langkah 4.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

Langkah 4.1.8

Gabungkan $15$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

Langkah 4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $15$ .

$- 4 + \frac{16}{4}$

Langkah 4.2.2.2

Bagilah $16$ dengan $4$ .

$- 4 + 4$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $- 4$ dan $4$ .

$0$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - \frac{1}{2}$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(4)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(4)$ dengan pembagi $(\frac{1}{2})$ dan tempatkan hasil $(2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(\frac{1}{2})$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(15)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(16)$ dengan pembagi $(\frac{1}{2})$ dan tempatkan hasil $(8)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(8)$ dengan pembagi $(\frac{1}{2})$ dan tempatkan hasil $(4)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

Langkah 7

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

Langkah 7.2

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

Langkah 7.3

Faktorkan $2$ dari $16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

Langkah 7.4

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Langkah 7.5

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Langkah 7.6

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

Langkah 7.7

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

Langkah 8

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

Langkah 8.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

Langkah 9

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 1$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

Langkah 9.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

Langkah 10

Substitusikan $u = x^{2}$ ke dalam persamaan. Hal ini akan membuat rumus kuadrat tersebut mudah digunakan.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Langkah 11

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ dan yang jumlahnya adalah $b = 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Faktorkan $15$ dari $15 u$ .

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Langkah 11.1.2

Tulis kembali $15$ sebagai $- 1$ ditambah $16$

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Langkah 11.1.3

Terapkan sifat distributif.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Langkah 11.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Langkah 11.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Langkah 11.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Langkah 12

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Langkah 13

Atur $4 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $4 u - 1$ sama dengan $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Langkah 13.2

Selesaikan $4 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$4 u = 1$

Langkah 13.2.2

Bagi setiap suku pada $4 u = 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 u = 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 13.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 13.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Langkah 14

Atur $u + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $u + 4$ sama dengan $0$ .

$u + 4 = 0$

Langkah 14.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 4$

Langkah 15

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

Langkah 16

Substitusikan kembali nilai riil dari $u = x^{2}$ ke dalam persamaan yang diselesaikan.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Langkah 17

Selesaikan persamaan pertama untuk $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Langkah 18

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Langkah 18.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Langkah 18.2.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Langkah 18.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 18.2.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Langkah 18.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 18.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 18.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Langkah 19

Selesaikan persamaan kedua untuk $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Langkah 20

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Hilangkan tanda kurung.

$x^{2} = - 4$

Langkah 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Langkah 20.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.3.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Langkah 20.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Langkah 20.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Langkah 20.3.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Langkah 20.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 2$

Langkah 20.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 2 i$

Langkah 20.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2 i$

Langkah 20.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2 i$

Langkah 20.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2 i, - 2 i$

Langkah 21

Penyelesaian untuk $4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ adalah $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

Langkah 22