Matematika Berhingga Contoh

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

Langkah 1

Tulis $| x^{2} - 5 | < 4 x$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Langkah 1.2

Selesaikan pertidaksamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $5$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} \geq 5$

Langkah 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.4

Tulis $| x | \geq \sqrt{5}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 1.2.4.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \geq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.4.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 1.2.4.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.4.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 1.2.5

Tentukan irisan dari $x \geq \sqrt{5}$ dan $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Langkah 1.2.6

Bagi setiap suku pada $- x \geq \sqrt{5}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq \sqrt{5}$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.2.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.2.6.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.2.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Langkah 1.2.6.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \sqrt{5}$ sebagai $- \sqrt{5}$ .

$x \leq - \sqrt{5}$

Langkah 1.2.7

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$x \leq - \sqrt{5}$ atau $x \geq \sqrt{5}$

Langkah 1.3

Pada bagian di mana $x^{2} - 5$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x^{2} - 5 < 4 x$

Langkah 1.4

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x^{2} - 5 < 0$

Langkah 1.5

Selesaikan pertidaksamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $5$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} < 5$

Langkah 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | < \sqrt{5}$

Langkah 1.5.4

Tulis $| x | < \sqrt{5}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 1.5.4.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x < \sqrt{5}$

Langkah 1.5.4.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 1.5.4.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x < \sqrt{5}$

Langkah 1.5.4.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 1.5.5

Tentukan irisan dari $x < \sqrt{5}$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x < \sqrt{5}$

Langkah 1.5.6

Selesaikan $- x < \sqrt{5}$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.1

Bagi setiap suku pada $- x < \sqrt{5}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x < \sqrt{5}$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.5.6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.5.6.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Langkah 1.5.6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.6.1.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

Langkah 1.5.6.1.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \sqrt{5}$ sebagai $- \sqrt{5}$ .

$x > - \sqrt{5}$

Langkah 1.5.6.2

Tentukan irisan dari $x > - \sqrt{5}$ dan $x < 0$ .

$- \sqrt{5} < x < 0$

Langkah 1.5.7

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

Langkah 1.6

Pada bagian di mana $x^{2} - 5$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

Langkah 1.7

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- (x^{2} - 5) < 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Terapkan sifat distributif.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Langkah 1.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Langkah 2

Selesaikan $x^{2} - 5 < 4 x$ ketika $x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Selesaikan $x^{2} - 5 < 4 x$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kurangkan $4 x$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

Langkah 2.1.2

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $x^{2} - 5 - 4 x$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 5$ dan jumlahnya $- 4$ .

$- 5, 1$

Langkah 2.1.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Langkah 2.1.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 2.1.5

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 2.1.5.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 2.1.6

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.1.6.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.1.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 5) (x + 1) = 0$ benar.

$x = 5, - 1$

Langkah 2.1.8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Langkah 2.1.9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1

Uji nilai pada interval $x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 2.1.9.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

Langkah 2.1.9.1.3

Sisi kiri $11$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 16$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.1.9.2

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.2.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 2.1.9.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

Langkah 2.1.9.2.3

Sisi kiri $- 5$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.1.9.3

Uji nilai pada interval $x > 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 8$

Langkah 2.1.9.3.2

Ganti $x$ dengan $8$ pada pertidaksamaan asal.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

Langkah 2.1.9.3.3

Sisi kiri $59$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $32$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.1.9.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 1$ Salah

$- 1 < x < 5$ Benar

$x > 5$ Salah

$x < - 1$ Salah

$- 1 < x < 5$ Benar

$x > 5$ Salah

Langkah 2.1.10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 1 < x < 5$

Langkah 2.2

Tentukan irisan dari $- 1 < x < 5$ dan $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} \leq x < 5$

Langkah 3

Selesaikan $- x^{2} + 5 < 4 x$ ketika $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Selesaikan $- x^{2} + 5 < 4 x$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kurangkan $4 x$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

Langkah 3.1.2

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2} + 5 - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan $5$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Langkah 3.1.3.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Langkah 3.1.3.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Langkah 3.1.3.1.4

Tulis kembali $5$ sebagai $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Langkah 3.1.3.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Langkah 3.1.3.1.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Langkah 3.1.3.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.2.1

Faktorkan $x^{2} + 4 x - 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 5$ dan jumlahnya $4$ .

$- 1, 5$

Langkah 3.1.3.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Langkah 3.1.3.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Langkah 3.1.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Langkah 3.1.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.1.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.1.6

Atur $x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.1

Atur $x + 5$ sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

Langkah 3.1.6.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 5$

Langkah 3.1.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (x - 1) (x + 5) = 0$ benar.

$x = 1, - 5$

Langkah 3.1.8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Langkah 3.1.9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.9.1

Uji nilai pada interval $x < - 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.9.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 8$

Langkah 3.1.9.1.2

Ganti $x$ dengan $- 8$ pada pertidaksamaan asal.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

Langkah 3.1.9.1.3

Sisi kiri $- 59$ lebih kecil dari sisi kanan $- 32$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 3.1.9.2

Uji nilai pada interval $- 5 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.9.2.1

Pilih nilai pada interval $- 5 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 3.1.9.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

Langkah 3.1.9.2.3

Sisi kiri $5$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 3.1.9.3

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.9.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 3.1.9.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

Langkah 3.1.9.3.3

Sisi kiri $- 11$ lebih kecil dari sisi kanan $16$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 3.1.9.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 5$ Benar

$- 5 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Benar

$x < - 5$ Benar

$- 5 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Benar

Langkah 3.1.10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 5$ atau $x > 1$

Langkah 3.2

Tentukan irisan dari $x < - 5 or x > 1$ dan $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

$1 < x < \sqrt{5}$

Langkah 4

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$1 < x < 5$

Langkah 5

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(1, 5)$

Langkah 6