Matematika Berhingga Contoh

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 \\ 5 & 1 & 5 \\ - 5 & - 5 & 1 \end{array}]$

Langkah 1

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.2

Evaluasi $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 1 - (- 5 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$1 (1 - (- 5 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.2.2.1.2

Kalikan $- (- 5 \cdot 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $5$ .

$1 (1 - - 25) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 25$ .

$1 (1 + 25) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $25$ .

$1 \cdot 26 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 26 + 1 (5 \cdot 1 - (- 5 \cdot 5)) + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$1 \cdot 26 + 1 (5 - (- 5 \cdot 5)) + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.3.2.1.2

Kalikan $- (- 5 \cdot 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $5$ .

$1 \cdot 26 + 1 (5 - - 25) + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.3.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 25$ .

$1 \cdot 26 + 1 (5 + 25) + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.3.2.2

Tambahkan $5$ dan $25$ .

$1 \cdot 26 + 1 \cdot 30 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$

Langkah 1.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 5 & - 5 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 26 + 1 \cdot 30 + 2 (5 \cdot - 5 - (- 5 \cdot 1))$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $- 5$ .

$1 \cdot 26 + 1 \cdot 30 + 2 (- 25 - (- 5 \cdot 1))$

Langkah 1.4.2.1.2

Kalikan $- (- 5 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$1 \cdot 26 + 1 \cdot 30 + 2 (- 25 - - 5)$

Langkah 1.4.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$1 \cdot 26 + 1 \cdot 30 + 2 (- 25 + 5)$

Langkah 1.4.2.2

Tambahkan $- 25$ dan $5$ .

$1 \cdot 26 + 1 \cdot 30 + 2 \cdot - 20$

Langkah 1.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kalikan $26$ dengan $1$ .

$26 + 1 \cdot 30 + 2 \cdot - 20$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $30$ dengan $1$ .

$26 + 30 + 2 \cdot - 20$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 20$ .

$26 + 30 - 40$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $26$ dan $30$ .

$56 - 40$

Langkah 1.5.3

Kurangi $40$ dengan $56$ .

$16$

Langkah 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ - 5 & - 5 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 \cdot - 1 & 5 - 5 \cdot 2 & 0 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 \\ - 5 & - 5 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & - 5 & - 5 & 1 & 0 \\ - 5 & - 5 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & - 5 & - 5 & 1 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 \cdot - 1 & 1 + 5 \cdot 2 & 0 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 & 1 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & - 5 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & - 10 & 11 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{- 5}{6} & \frac{- 5}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 10 & 11 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & - \frac{5}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 10 & 11 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & - \frac{5}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 11 + 10 (- \frac{5}{6}) & 5 + 10 (- \frac{5}{6}) & 0 + 10 (\frac{1}{6}) & 1 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & - \frac{5}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{8}{3} & - \frac{10}{3} & \frac{5}{3} & 1 \end{array}]$

Langkah 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{3}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{3}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & - \frac{5}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{3}{8} \cdot 0 & \frac{3}{8} \cdot 0 & \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} & \frac{3}{8} (- \frac{10}{3}) & \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{8} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & - \frac{5}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{5}{4} & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \end{array}]$

Langkah 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{6} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{6} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{5}{6} \cdot 0 & 1 + \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot 1 & - \frac{5}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{5}{4}) & \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{8} & 0 + \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{5}{4} & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \end{array}]$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{15}{8} & \frac{11}{16} & \frac{5}{16} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{5}{4} & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \end{array}]$

Langkah 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (- \frac{5}{4}) & 0 - 2 (\frac{5}{8}) & 0 - 2 (\frac{3}{8}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{15}{8} & \frac{11}{16} & \frac{5}{16} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{5}{4} & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \end{array}]$

Langkah 4.7.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{4} & - \frac{3}{4} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{15}{8} & \frac{11}{16} & \frac{5}{16} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{5}{4} & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \end{array}]$

Langkah 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & \frac{7}{2} - \frac{15}{8} & - \frac{5}{4} + \frac{11}{16} & - \frac{3}{4} + \frac{5}{16} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{15}{8} & \frac{11}{16} & \frac{5}{16} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{5}{4} & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \end{array}]$

Langkah 4.8.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{13}{8} & - \frac{9}{16} & - \frac{7}{16} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{15}{8} & \frac{11}{16} & \frac{5}{16} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{5}{4} & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \end{array}]$

Langkah 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{8} & - \frac{9}{16} & - \frac{7}{16} \\ - \frac{15}{8} & \frac{11}{16} & \frac{5}{16} \\ - \frac{5}{4} & \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \end{array}]$