Matematika Berhingga Contoh

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

Langkah 1

Tulis kembali $7^{- x}$ sebagai eksponensiasi.

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

Langkah 2

Substitusikan $u$ untuk $7^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 50$

Langkah 3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 50$

Langkah 4

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, u, 1$

Langkah 4.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$u$

Langkah 4.2

Kalikan setiap suku pada $u + \frac{1}{u} = 50$ dengan $u$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan setiap suku dalam $u + \frac{1}{u} = 50$ dengan $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Langkah 4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Langkah 4.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u^{2} + 1 = 50 u$

Langkah 4.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $50 u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

Langkah 4.3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 50$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Naikkan $- 50$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.3

Kurangi $4$ dengan $2500$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.4

Tulis kembali $2496$ sebagai $8^{2} \cdot 39$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.4.1

Faktorkan $64$ dari $2496$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.4.2

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

Langkah 4.3.4.3

Sederhanakan $\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ .

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

Langkah 4.3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

Langkah 5

Substitusikan $25 + 4 \sqrt{39}$ untuk $u$ dalam $u = 7^{x}$ .

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Langkah 6

Selesaikan $25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

Langkah 6.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Langkah 6.3

Perluas $\ln (7^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Langkah 6.4

Bagi setiap suku pada $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ dengan $\ln (7)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Bagilah setiap suku di $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ dengan $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Langkah 6.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Langkah 7

Substitusikan $25 - 4 \sqrt{39}$ untuk $u$ dalam $u = 7^{x}$ .

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Langkah 8

Selesaikan $25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

Langkah 8.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Langkah 8.3

Perluas $\ln (7^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Langkah 8.4

Bagi setiap suku pada $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ dengan $\ln (7)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Bagilah setiap suku di $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ dengan $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Langkah 8.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Langkah 9

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Bentuk Desimal:

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$