Matematika Berhingga Contoh

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Langkah 1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai eksponensiasi.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Langkah 2

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Langkah 3

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = - 5$ , dan $c = 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.1.3

Kurangi $32$ dengan $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.1.4

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (7)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 3.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 4

Substitusikan $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Langkah 5

Selesaikan $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 5.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 5.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 5.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 5.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 5.4

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ sebagai $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Langkah 5.4.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali $\ln (4)$ sebagai $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Langkah 5.4.4

Perluas $\ln (2^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Langkah 5.4.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (2)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Langkah 5.5.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Langkah 5.5.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Langkah 7

Selesaikan $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Langkah 7.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 7.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 7.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 7.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Langkah 7.4

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Tulis kembali $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ sebagai $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Langkah 7.4.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Langkah 7.4.3

Tulis kembali $\ln (4)$ sebagai $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Langkah 7.4.4

Perluas $\ln (2^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Langkah 7.4.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (2)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Langkah 7.5.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Langkah 7.5.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Langkah 8

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$