Matematika Berhingga Contoh

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ .

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

Langkah 2

Tulis kembali $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

Langkah 3

Selesaikan $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kurangkan $\frac{27}{64}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali $\frac{27}{64}$ sebagai ${(\frac{3}{4})}^{3}$ .

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

Langkah 3.2.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = b$ dan $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Gabungkan $b$ dan $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Langkah 3.2.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Langkah 3.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Langkah 3.2.3.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

Langkah 3.2.3.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

Langkah 3.2.3.6

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Langkah 3.4

Atur $b - \frac{3}{4}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $b - \frac{3}{4}$ sama dengan $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $\frac{3}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$b = \frac{3}{4}$

Langkah 3.5

Atur $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ sama dengan $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ untuk $b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $16$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Langkah 3.5.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Langkah 3.5.2.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Langkah 3.5.2.1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Langkah 3.5.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Langkah 3.5.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Langkah 3.5.2.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

Langkah 3.5.2.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5.2.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 16$ , $b = 12$ , dan $c = 9$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $b$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 64$ dengan $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.3

Kurangi $576$ dengan $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.4

Tulis kembali $- 432$ sebagai $- 1 (432)$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (432)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.7

Tulis kembali $432$ sebagai $12^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1.7.1

Faktorkan $144$ dari $432$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.7.2

Tulis kembali $144$ sebagai $12^{2}$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.1.9

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 3.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Langkah 3.5.2.4.3

Sederhanakan $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 3.5.2.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ benar.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$