Matematika Berhingga Contoh

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

Tuliskan $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ sebagai sebuah persamaan.

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

Saling tukar variabel.

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ .

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Selesaikan $\sqrt{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Perluas $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan sifat distributif.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Terapkan sifat distributif.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Terapkan sifat distributif.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Kalikan $\sqrt{y}$ dengan $\sqrt{y}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Kalikan $\sqrt{y}$ dengan $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Kalikan $9$ dengan $7$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Kalikan $7$ dengan $- 5$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

Kurangi $35 \sqrt{y}$ dengan $27 \sqrt{y}$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Substitusikan nilai-nilai $a = 63$ , $b = - 8$ , dan $c = - 15 - x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $\sqrt{y}$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 4$ dengan $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Terapkan sifat distributif.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 252$ dengan $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 1$ dengan $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Tambahkan $64$ dan $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $3844 + 252 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Tulis kembali $4 (961 + 63 x)$ sebagai $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Tulis kembali $961$ sebagai $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Naikkan $31$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $2$ dengan $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Sederhanakan $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 4$ dengan $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Terapkan sifat distributif.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 252$ dengan $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 1$ dengan $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Tambahkan $64$ dan $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $3844 + 252 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Tulis kembali $4 (961 + 63 x)$ sebagai $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Tulis kembali $961$ sebagai $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Naikkan $31$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $2$ dengan $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Sederhanakan $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 4$ dengan $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Terapkan sifat distributif.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 252$ dengan $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $- 1$ dengan $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Tambahkan $64$ dan $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $3844 + 252 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $4$ dari $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Faktorkan $4$ dari $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Tulis kembali $4 (961 + 63 x)$ sebagai $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Tulis kembali $961$ sebagai $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Naikkan $31$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Kalikan $2$ dengan $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Sederhanakan $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Sederhanakan.

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ merupakan balikan dari $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ dan $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ dan bandingkan.

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

Tentukan domain dari $\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{961 + 63 x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$961 + 63 x \geq 0$

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kurangkan $961$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$63 x \geq - 961$

Bagi setiap suku pada $63 x \geq - 961$ dengan $63$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Bagilah setiap suku di $63 x \geq - 961$ dengan $63$ .

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan dari $63$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{- 961}{63}$

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x \geq - \frac{961}{63}$

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ tidak sama dengan daerah hasil dari $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ merupakan balikan dari $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Tidak ada balikan

Step 6