Matematika Berhingga Contoh

$x^{6} + 28 x^{3} + 27 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $x^{6}$ sebagai ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} + 28 x^{3} + 27 = 0$

Langkah 1.2

Biarkan $u = x^{3}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{3}$ .

$u^{2} + 28 u + 27 = 0$

Langkah 1.3

Faktorkan $u^{2} + 28 u + 27$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $27$ dan jumlahnya $28$ .

$1, 27$

Langkah 1.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u + 1) (u + 27) = 0$

Langkah 1.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

$x^{3} + 27 = 0$

Langkah 3

Atur $x^{3} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $x^{3} + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{3} + 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x^{3} + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} = - 1$

Langkah 3.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{3} + 1 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Langkah 3.2.3.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.2.3.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Langkah 3.2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Langkah 3.2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.2.6

Atur $x^{2} - x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Atur $x^{2} - x + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Langkah 3.2.6.2

Selesaikan $x^{2} - x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.2.6.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 1$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.3.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3.1.3

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3.1.4

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2.6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.2.6.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 3.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ benar.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 4

Atur $x^{3} + 27$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x^{3} + 27$ sama dengan $0$ .

$x^{3} + 27 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x^{3} + 27 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $27$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} = - 27$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $27$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{3} + 27 = 0$

Langkah 4.2.3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} = 0$

Langkah 4.2.3.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Langkah 4.2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) = 0$

Langkah 4.2.3.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

Langkah 4.2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Langkah 4.2.5

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 4.2.5.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 4.2.6

Atur $x^{2} - 3 x + 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Atur $x^{2} - 3 x + 9$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Langkah 4.2.6.2

Selesaikan $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.2.6.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 3$ , dan $c = 9$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.3.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.3

Kurangi $36$ dengan $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.4

Tulis kembali $- 27$ sebagai $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (27)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.7

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.3.1.7.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.7.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.1.9

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 4.2.6.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 4.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ benar.

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$ benar.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$