Matematika Berhingga Contoh

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x}{33 + x}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $\frac{x + 1}{2 - x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $- \frac{x}{33 + x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Langkah 2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(2 - x) (33 + x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $\frac{x + 1}{2 - x}$ dengan $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{x}{33 + x}$ dengan $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

Langkah 2.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(33 + x) (2 - x)$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Perluas $(x + 1) (33 + x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Pindahkan $33$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.2.1.3

Kalikan $33$ dengan $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $33 x$ dan $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.6.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.6.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.7

Kurangi $2 x$ dengan $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.8

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 2.5.9

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Langkah 4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = 32$ , dan $c = 33$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Naikkan $32$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.3

Kurangi $264$ dengan $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali $760$ sebagai $2^{2} \cdot 190$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $760$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

Langkah 6.3

Sederhanakan $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

Langkah 7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

Langkah 8

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 2$

Langkah 9

Bagi setiap suku pada $- x = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 9.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 9.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x = 2$

Langkah 10

Kurangkan $33$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 33$

Langkah 11

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

Langkah 12

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

Langkah 13

Tentukan domain dari $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

Langkah 13.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Langkah 13.2.2

Atur $2 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1

Atur $2 - x$ sama dengan $0$ .

$2 - x = 0$

Langkah 13.2.2.2

Selesaikan $2 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 2$

Langkah 13.2.2.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 13.2.2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 13.2.2.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 13.2.2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x = 2$

Langkah 13.2.3

Atur $33 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Atur $33 + x$ sama dengan $0$ .

$33 + x = 0$

Langkah 13.2.3.2

Kurangkan $33$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 33$

Langkah 13.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 - x) (33 + x) = 0$ benar.

$x = 2, - 33$

Langkah 13.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 14

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

Langkah 15

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Uji nilai pada interval $x < - 33$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 33$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 36$

Langkah 15.1.2

Ganti $x$ dengan $- 36$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

Langkah 15.1.3

Sisi kiri $- 0.92105263$ lebih kecil dari sisi kanan $12$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 15.2

Uji nilai pada interval $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Pilih nilai pada interval $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 17$

Langkah 15.2.2

Ganti $x$ dengan $- 17$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

Langkah 15.2.3

Sisi kiri $- 0.84210526$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 1.0625$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 15.3

Uji nilai pada interval $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 15.3.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

Langkah 15.3.3

Sisi kiri $- 0.5$ lebih kecil dari sisi kanan $- 0.13793103$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 15.4

Uji nilai pada interval $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 15.4.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

Langkah 15.4.3

Sisi kiri $0.5$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 15.5

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 15.5.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

Langkah 15.5.3

Sisi kiri $- 2.5$ lebih kecil dari sisi kanan $0.\overline{108}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 15.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 33$ Benar

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Salah

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Benar

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 33$ Benar

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Salah

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Benar

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 16

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 33$ atau $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ atau $x > 2$

Langkah 17

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

Langkah 18