Matematika Berhingga Contoh

$8 y^{3} - 1 = 0$

Langkah 1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$8 y^{3} = 1$

Langkah 2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 y^{3} - 1 = 0$

Langkah 3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $8 y^{3}$ sebagai ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

Langkah 3.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

Langkah 3.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = 2 y$ dan $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 y$ .

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

Langkah 3.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Langkah 5

Atur $2 y - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $2 y - 1$ sama dengan $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $2 y - 1 = 0$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y = 1$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 y = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Langkah 6

Atur $4 y^{2} + 2 y + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $4 y^{2} + 2 y + 1$ sama dengan $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 4$ , $b = 2$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ benar.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$