Matematika Berhingga Contoh

$\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$

Langkah 1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y + 2, y - 4, y + 6$

Langkah 1.2

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 1.3

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 1.4

KPK dari $1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 1.5

Faktor untuk $y + 2$ adalah $y + 2$ itu sendiri.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 1.6

Faktor untuk $y - 4$ adalah $y - 4$ itu sendiri.

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 1.7

Faktor untuk $y + 6$ adalah $y + 6$ itu sendiri.

$(y + 6) = y + 6$

$(y + 6)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 1.8

KPK dari $y + 2, y - 4, y + 6$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

$(y + 2) (y - 4) (y + 6)$

Langkah 2

Kalikan setiap suku pada $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ dengan $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ dengan $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Faktorkan $y + 2$ dari $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 ((y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.2

Perluas $(y - 4) (y + 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (y (y + 6) - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$4 (y^{2} + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.3.1.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $y$ .

$4 (y^{2} + 6 \cdot y - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.3.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $6$ .

$4 (y^{2} + 6 y - 4 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.3.2

Kurangi $4 y$ dengan $6 y$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.5.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 y^{2} + 8 y + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.5.2

Kalikan $4$ dengan $- 24$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{y - 4}$ ke dalam pembilangnya.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.6.2

Faktorkan $y - 4$ dari $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 ((y + 2) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.7

Perluas $(y + 2) (y + 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y (y + 6) + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.7.3

Terapkan sifat distributif.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.8

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.8.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.8.1.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.8.1.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 y + 2 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.8.2

Tambahkan $6 y$ dan $2 y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 8 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.9

Terapkan sifat distributif.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 2 (8 y) - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.10.1

Kalikan $8$ dengan $- 2$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.1.10.2

Kalikan $- 2$ dengan $12$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kurangi $2 y^{2}$ dengan $4 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 96 - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $16 y$ dengan $8 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 96 - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.2.2.3

Kurangi $24$ dengan $- 96$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Faktorkan $y + 6$ dari $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Langkah 2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Langkah 2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 ((y + 2) (y - 4))$

Langkah 2.3.2

Perluas $(y + 2) (y - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y (y - 4) + 2 (y - 4))$

Langkah 2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 (y - 4))$

Langkah 2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Langkah 2.3.3.1.2

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Langkah 2.3.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 y + 2 y - 8)$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $- 4 y$ dan $2 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 2 y - 8)$

Langkah 2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} + 6 (- 2 y) + 6 \cdot - 8$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $6$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y + 6 \cdot - 8$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $6$ dengan $- 8$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y - 48$

Langkah 3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $y$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kurangkan $6 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} = - 12 y - 48$

Langkah 3.1.2

Tambahkan $12 y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} + 12 y = - 48$

Langkah 3.1.3

Kurangi $6 y^{2}$ dengan $2 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 8 y - 120 + 12 y = - 48$

Langkah 3.1.4

Tambahkan $- 8 y$ dan $12 y$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 = - 48$

Langkah 3.2

Tambahkan $48$ ke kedua sisi persamaan.

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 + 48 = 0$

Langkah 3.3

Tambahkan $- 120$ dan $48$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 y^{2} + 4 y - 72$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $- 4$ dari $4 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 72 = 0$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 72$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 4 \cdot 18 = 0$

Langkah 3.4.4

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 (y^{2}) - 4 (- y)$ .

$- 4 (y^{2} - y) - 4 \cdot 18 = 0$

Langkah 3.4.5

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 (y^{2} - y) - 4 (18)$ .

$- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah $y^{2} - y + 18$ dengan $1$ .

$y^{2} - y + 18 = \frac{0}{- 4}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 4$ .

$y^{2} - y + 18 = 0$

Langkah 3.6

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.7

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 1$ , dan $c = 18$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $18$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.3

Kurangi $72$ dengan $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.4

Tulis kembali $- 71$ sebagai $- 1 (71)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (71)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2}$

Langkah 3.9

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{1 + i \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{2}$