Matematika Berhingga Contoh

x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Langkah 1

Karena akarnya berada pada sisi kanan persamaan, tukar ruasnya sehingga berada pada sisi kiri persamaan.

\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Langkah 2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

{\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{10 - x^{2}}

$\sqrt{10 - x^{2}}$ sebagai

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan

${(x + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali

${(x + 2)}^{2}$ sebagai

$(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Langkah 3.3.1.2

Perluas

$(x + 2) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Langkah 3.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Langkah 3.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1.1

Kalikan

$x$ dengan

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.3.1.3.1.2

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.3.1.3.1.3

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Langkah 3.3.1.3.2

Tambahkan

$2 x$ dan

$2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Langkah 4

Selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali sehingga

$x$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Langkah 4.2

Pindahkan semua suku yang mengandung

$x$ ke sisi kiri dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan

$x^{2}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Langkah 4.2.2

Tambahkan

$x^{2}$ dan

$x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Langkah 4.3

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Langkah 4.4

Kurangkan

$10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Langkah 4.5

Kurangi

$10$ dengan

$4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Langkah 4.6

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Faktorkan

$2$ dari

$2 x^{2} + 4 x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Faktorkan

$2$ dari

$2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Langkah 4.6.1.2

Faktorkan

$2$ dari

$4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Langkah 4.6.1.3

Faktorkan

$2$ dari

$- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Langkah 4.6.1.4

Faktorkan

$2$ dari

$2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Langkah 4.6.1.5

Faktorkan

$2$ dari

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Langkah 4.6.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Faktorkan

$x^{2} + 2 x - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk

$x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya

$b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya

$- 3$ dan jumlahnya

$2$ .

$- 1, 3$

Langkah 4.6.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Langkah 4.6.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Langkah 4.7

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 4.8

Atur

$x - 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Atur

$x - 1$ sama dengan

$0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 4.8.2

Tambahkan

$1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 4.9

Atur

$x + 3$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Atur

$x + 3$ sama dengan

$0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 4.9.2

Kurangkan

$3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 4.10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$ benar.

$x = 1, - 3$

Langkah 5

Tentukan domain dari

$x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur bilangan di bawah akar dalam

$\sqrt{10 - x^{2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan

$0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$10 - x^{2} \geq 0$

Langkah 5.2

Selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan

$10$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x^{2} \geq - 10$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada

$- x^{2} \geq - 10$ dengan

$- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagi setiap suku dalam

$- x^{2} \geq - 10$ dengan

$- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 5.2.2.2.2

Bagilah

$x^{2}$ dengan

$1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Bagilah

$- 10$ dengan

$- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Langkah 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.5

Tulis

$| x | \leq \sqrt{10}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 5.2.5.2

Pada bagian di mana

$x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.5.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 5.2.5.4

Pada bagian di mana

$x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan

$- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.5.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 5.2.6

Tentukan irisan dari

$x \leq \sqrt{10}$ dan

$x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.7

Selesaikan

$- x \leq \sqrt{10}$ ketika

$x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Bagi setiap suku pada

$- x \leq \sqrt{10}$ dengan

$- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.1

Bagi setiap suku dalam

$- x \leq \sqrt{10}$ dengan

$- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Langkah 5.2.7.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Langkah 5.2.7.1.2.2

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Langkah 5.2.7.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut

$\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Langkah 5.2.7.1.3.2

Tulis kembali

$- 1 \cdot \sqrt{10}$ sebagai

$- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Langkah 5.2.7.2

Tentukan irisan dari

$x \geq - \sqrt{10}$ dan

$x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Langkah 5.2.8

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.3

Domain adalah semua nilai dari

$x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Langkah 6

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Langkah 7

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Uji nilai pada interval

$x < - \sqrt{10}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pilih nilai pada interval

$x < - \sqrt{10}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 7.1.2

Ganti

$x$ dengan

$- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Langkah 7.1.3

Sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, artinya pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.2

Uji nilai pada interval

$- \sqrt{10} < x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Pilih nilai pada interval

$- \sqrt{10} < x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 3.08$

Langkah 7.2.2

Ganti

$x$ dengan

$- 3.08$ pada pertidaksamaan asal.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Langkah 7.2.3

Sisi kiri

$- 1.08$ tidak lebih besar dari sisi kanan

$0.71665891$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.3

Uji nilai pada interval

$- 3 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pilih nilai pada interval

$- 3 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 7.3.2

Ganti

$x$ dengan

$0$ pada pertidaksamaan asal.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Langkah 7.3.3

Sisi kiri

$2$ tidak lebih besar dari sisi kanan

$3.16227766$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.4

Uji nilai pada interval

$1 < x < \sqrt{10}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pilih nilai pada interval

$1 < x < \sqrt{10}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 7.4.2

Ganti

$x$ dengan

$2$ pada pertidaksamaan asal.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Langkah 7.4.3

Sisi kiri

$4$ lebih besar dari sisi kanan

$2.44948974$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 7.5

Uji nilai pada interval

$x > \sqrt{10}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pilih nilai pada interval

$x > \sqrt{10}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 7.5.2

Ganti

$x$ dengan

$6$ pada pertidaksamaan asal.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Langkah 7.5.3

Sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, artinya pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \sqrt{10}$ Salah

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Salah

$- 3 < x < 1$ Salah

$1 < x < \sqrt{10}$ Benar

$x > \sqrt{10}$ Salah

$x < - \sqrt{10}$ Salah

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Salah

$- 3 < x < 1$ Salah

$1 < x < \sqrt{10}$ Benar

$x > \sqrt{10}$ Salah

Langkah 8

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$1 < x < \sqrt{10}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$1 < x < \sqrt{10}$

Notasi Interval:

$(1, \sqrt{10})$

Langkah 10