Matematika Berhingga Contoh

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Langkah 1

Karena akarnya berada pada sisi kanan persamaan, tukar ruasnya sehingga berada pada sisi kiri persamaan.

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Langkah 2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{10 - x^{2}}$ sebagai ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.2.1.2

Sederhanakan.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan ${(x + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali ${(x + 2)}^{2}$ sebagai $(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Langkah 3.3.1.2

Perluas $(x + 2) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Langkah 3.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Langkah 3.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.3.1.3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.3.1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Langkah 3.3.1.3.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali sehingga $x$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Langkah 4.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $x^{2}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Langkah 4.3

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Langkah 4.4

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Langkah 4.5

Kurangi $10$ dengan $4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Langkah 4.6

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 4 x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Langkah 4.6.1.2

Faktorkan $2$ dari $4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Langkah 4.6.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Langkah 4.6.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Langkah 4.6.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Langkah 4.6.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Faktorkan $x^{2} + 2 x - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $2$ .

$- 1, 3$

Langkah 4.6.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Langkah 4.6.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Langkah 4.7

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 4.8

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 4.8.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 4.9

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 4.9.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 4.10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (x - 1) (x + 3) = 0$ benar.

$x = 1, - 3$

Langkah 5

Tentukan domain dari $x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{10 - x^{2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$10 - x^{2} \geq 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $10$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x^{2} \geq - 10$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} \geq - 10$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x^{2} \geq - 10$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 5.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Bagilah $- 10$ dengan $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Langkah 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.5

Tulis $| x | \leq \sqrt{10}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 5.2.5.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.5.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 5.2.5.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.5.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 5.2.6

Tentukan irisan dari $x \leq \sqrt{10}$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.2.7

Selesaikan $- x \leq \sqrt{10}$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Bagi setiap suku pada $- x \leq \sqrt{10}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq \sqrt{10}$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Langkah 5.2.7.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Langkah 5.2.7.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Langkah 5.2.7.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Langkah 5.2.7.1.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \sqrt{10}$ sebagai $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Langkah 5.2.7.2

Tentukan irisan dari $x \geq - \sqrt{10}$ dan $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Langkah 5.2.8

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Langkah 5.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Langkah 6

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Langkah 7

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Uji nilai pada interval $x < - \sqrt{10}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - \sqrt{10}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 7.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Langkah 7.1.3

Sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, artinya pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.2

Uji nilai pada interval $- \sqrt{10} < x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Pilih nilai pada interval $- \sqrt{10} < x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 3.08$

Langkah 7.2.2

Ganti $x$ dengan $- 3.08$ pada pertidaksamaan asal.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Langkah 7.2.3

Sisi kiri $- 1.08$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0.71665891$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.3

Uji nilai pada interval $- 3 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 7.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Langkah 7.3.3

Sisi kiri $2$ tidak lebih besar dari sisi kanan $3.16227766$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.4

Uji nilai pada interval $1 < x < \sqrt{10}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < \sqrt{10}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 7.4.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Langkah 7.4.3

Sisi kiri $4$ lebih besar dari sisi kanan $2.44948974$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 7.5

Uji nilai pada interval $x > \sqrt{10}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pilih nilai pada interval $x > \sqrt{10}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 7.5.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Langkah 7.5.3

Sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, artinya pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \sqrt{10}$ Salah

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Salah

$- 3 < x < 1$ Salah

$1 < x < \sqrt{10}$ Benar

$x > \sqrt{10}$ Salah

$x < - \sqrt{10}$ Salah

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Salah

$- 3 < x < 1$ Salah

$1 < x < \sqrt{10}$ Benar

$x > \sqrt{10}$ Salah

Langkah 8

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$1 < x < \sqrt{10}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$1 < x < \sqrt{10}$

Notasi Interval:

$(1, \sqrt{10})$

Langkah 10