Matematika Berhingga Contoh

$4 x^{3} + 7 x^{2} = 5 x + 6$

Langkah 1

Kurangkan $5 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x = 6$

Langkah 2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Langkah 3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Langkah 3.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 6, \pm 1.5, \pm 3, \pm 2, \pm 0.75$

Langkah 3.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$4 \cdot 1^{3} + 7 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 6$

Langkah 3.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot 1 + 7 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 6$

Langkah 3.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + 7 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 6$

Langkah 3.1.3.4

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$4 + 7 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 6$

Langkah 3.1.3.5

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$4 + 7 - 5 \cdot 1 - 6$

Langkah 3.1.3.6

Tambahkan $4$ dan $7$ .

$11 - 5 \cdot 1 - 6$

Langkah 3.1.3.7

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$11 - 5 - 6$

Langkah 3.1.3.8

Kurangi $5$ dengan $11$ .

$6 - 6$

Langkah 3.1.3.9

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$0$

Langkah 3.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6}{x - 1}$

Langkah 3.1.5

Bagilah $4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$6$

Langkah 3.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Langkah 3.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Langkah 3.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{3} - 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Langkah 3.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

Langkah 3.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$

Langkah 3.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $11 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$

Langkah 3.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Langkah 3.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $11 x^{2} - 11 x$

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

Langkah 3.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$

Langkah 3.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Langkah 3.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$11 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Langkah 3.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$	+	$11 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Langkah 3.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x - 6$

				$4 x^{2}$	+	$11 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Langkah 3.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$	+	$11 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Langkah 3.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$4 x^{2} + 11 x + 6$

Langkah 3.1.6

Tulis $4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 1) (4 x^{2} + 11 x + 6) = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ dan yang jumlahnya adalah $b = 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Faktorkan $11$ dari $11 x$ .

$(x - 1) (4 x^{2} + 11 (x) + 6) = 0$

Langkah 3.2.1.1.2

Tulis kembali $11$ sebagai $3$ ditambah $8$

$(x - 1) (4 x^{2} + (3 + 8) x + 6) = 0$

Langkah 3.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x - 1) (4 x^{2} + 3 x + 8 x + 6) = 0$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 1) ((4 x^{2} + 3 x) + 8 x + 6) = 0$

Langkah 3.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 1) (x (4 x + 3) + 2 (4 x + 3)) = 0$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $4 x + 3$ .

$(x - 1) ((4 x + 3) (x + 2)) = 0$

Langkah 3.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) (4 x + 3) (x + 2) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x + 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 6

Atur $4 x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $4 x + 3$ sama dengan $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $4 x + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x = - 3$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x = - 3$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = - 3$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{3}{4}$

Langkah 7

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 7.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (4 x + 3) (x + 2) = 0$ benar.

$x = 1, - \frac{3}{4}, - 2$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 1, - \frac{3}{4}, - 2$

Bentuk Desimal:

$x = 1, - 0.75, - 2$