Matematika Berhingga Contoh

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

Langkah 1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 2

Tambahkan $- 7$ dan $3$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

Langkah 3

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x^{2} = 4$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $2 x^{2} = 4$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $2 x^{2} = 4$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$x^{2} = 2$

Langkah 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2}$

Langkah 6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2}$

Langkah 6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 7

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 8

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 9

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 10

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

Langkah 11

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

Langkah 12

Tentukan domain dari $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

Langkah 12.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 12.2.2

Atur ${(x - 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Atur ${(x - 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 12.2.2.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 12.2.2.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 12.2.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 12.2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 12.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ benar.

$x = 2, - 1$

Langkah 12.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 13

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

Langkah 14

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Uji nilai pada interval $x < - \sqrt{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - \sqrt{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 14.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

Langkah 14.1.3

Sisi kiri $- 0.\overline{259}$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 14.2

Uji nilai pada interval $- \sqrt{2} < x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Pilih nilai pada interval $- \sqrt{2} < x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 1.21$

Langkah 14.2.2

Ganti $x$ dengan $- 1.21$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

Langkah 14.2.3

Sisi kiri $0.49531832$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 14.3

Uji nilai pada interval $- 1 < x < \sqrt{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < \sqrt{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 14.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

Langkah 14.3.3

Sisi kiri $- 1$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 14.4

Uji nilai pada interval $\sqrt{2} < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Pilih nilai pada interval $\sqrt{2} < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.71$

Langkah 14.4.2

Ganti $x$ dengan $1.71$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

Langkah 14.4.3

Sisi kiri $8.10930582$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 14.5

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 14.5.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

Langkah 14.5.3

Sisi kiri $1.4$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 14.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \sqrt{2}$ Benar

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Salah

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Benar

$\sqrt{2} < x < 2$ Salah

$x > 2$ Salah

$x < - \sqrt{2}$ Benar

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Salah

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Benar

$\sqrt{2} < x < 2$ Salah

$x > 2$ Salah

Langkah 15

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - \sqrt{2}$ atau $- 1 < x < \sqrt{2}$

Langkah 16

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

Langkah 17