Matematika Berhingga Contoh

$\frac{x - 2}{3} < \frac{5}{x}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{5}{x}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x} < 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $\frac{x - 2}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} < 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $- \frac{5}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Langkah 2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $3 x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $\frac{x - 2}{3}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{5}{x}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} < 0$

Langkah 2.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $x \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x - 2) x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Langkah 2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Langkah 2.5.3

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{3 x} < 0$

Langkah 2.5.4

Faktorkan $x^{2} - 2 x - 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 15$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 5, 3$

Langkah 2.5.4.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x} < 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$3 x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $3 x = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$x = 0$

Langkah 5

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 6

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 7

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 0$

$x = 5$

$x = - 3$

Langkah 8

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 0, 5, - 3$

Langkah 9

Tentukan domain dari $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 x = 0$

Langkah 9.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 9.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$x = 0$

Langkah 9.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Langkah 11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Uji nilai pada interval $x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 11.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 6) - 2}{3} < \frac{5}{- 6}$

Langkah 11.1.3

Sisi kiri $- 2.\overline{6}$ lebih kecil dari sisi kanan $- 0.8\overline{3}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 11.2

Uji nilai pada interval $- 3 < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 11.2.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 2) - 2}{3} < \frac{5}{- 2}$

Langkah 11.2.3

Sisi kiri $- 1.\overline{3}$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 2.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.3

Uji nilai pada interval $0 < x < 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 11.3.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(2) - 2}{3} < \frac{5}{2}$

Langkah 11.3.3

Sisi kiri $0$ lebih kecil dari sisi kanan $2.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 11.4

Uji nilai pada interval $x > 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 8$

Langkah 11.4.2

Ganti $x$ dengan $8$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(8) - 2}{3} < \frac{5}{8}$

Langkah 11.4.3

Sisi kiri $2$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0.625$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < 0$ Salah

$0 < x < 5$ Benar

$x > 5$ Salah

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < 0$ Salah

$0 < x < 5$ Benar

$x > 5$ Salah

Langkah 12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 3$ atau $0 < x < 5$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$x < - 3 or 0 < x < 5$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 3) \cup (0, 5)$

Langkah 14