Matematika Berhingga Contoh

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

Langkah 1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 4$ , dan $c = x^{2} + 4 x - 73$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.2

Kalikan $x^{2} + 4 x - 73$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3

Kurangi $73$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $x^{2} + 4 x - 77$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 77$ dan jumlahnya $4$ .

$- 7, 11$

Langkah 3.1.4.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.5

Tulis kembali $- 4 (x - 7) (x + 11)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.5.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.5.4

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.2

Kalikan $x^{2} + 4 x - 73$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.3

Kurangi $73$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.4

Faktorkan $x^{2} + 4 x - 77$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 77$ dan jumlahnya $4$ .

$- 7, 11$

Langkah 4.1.4.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.5

Tulis kembali $- 4 (x - 7) (x + 11)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.5.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.5.4

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Langkah 4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.2

Kalikan $x^{2} + 4 x - 73$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.3

Kurangi $73$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.4

Faktorkan $x^{2} + 4 x - 77$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 77$ dan jumlahnya $4$ .

$- 7, 11$

Langkah 5.1.4.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.5

Tulis kembali $- 4 (x - 7) (x + 11)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.5.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.5.4

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Langkah 5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Langkah 6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

Langkah 8.2

Atur $x - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Atur $x - 7$ sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 7$

Langkah 8.3

Atur $x + 11$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Atur $x + 11$ sama dengan $0$ .

$x + 11 = 0$

Langkah 8.3.2

Kurangkan $11$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 11$

Langkah 8.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ benar.

$x = 7, - 11$

Langkah 8.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

Langkah 8.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 11$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 11$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 14$

Langkah 8.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 14$ pada pertidaksamaan asal.

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

Langkah 8.6.1.3

Sisi kiri $- 63$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.2

Uji nilai pada interval $- 11 < x < 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 11 < x < 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 8.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

Langkah 8.6.2.3

Sisi kiri $77$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.3

Uji nilai pada interval $x > 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 10$

Langkah 8.6.3.2

Ganti $x$ dengan $10$ pada pertidaksamaan asal.

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

Langkah 8.6.3.3

Sisi kiri $- 63$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 11$ Salah

$- 11 < x < 7$ Benar

$x > 7$ Salah

$x < - 11$ Salah

$- 11 < x < 7$ Benar

$x > 7$ Salah

Langkah 8.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 11 \leq x \leq 7$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 11, 7]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- 7, 11]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

Daerah hasil: $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

Langkah 12