Matematika Berhingga Contoh

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{48}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

Langkah 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Langkah 3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $64$ dengan $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

Langkah 3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{48}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

Langkah 3.2.1.3.2

Faktorkan $16$ dari $64$ .

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

Langkah 3.2.1.3.3

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Langkah 3.2.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

Langkah 3.2.1.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

Langkah 3.2.1.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

Langkah 3.2.1.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

Langkah 3.2.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

Langkah 4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menuliskan $64$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $64$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $4$ dari $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $64 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

Langkah 5.3.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

Langkah 5.3.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

Langkah 5.3.2

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.6

Kalikan $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Kalikan $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 5.7.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 5.7.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 5.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 5.7.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.7.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 5.7.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 5.8

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Langkah 6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Langkah 6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi setiap suku pada $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Bagilah setiap suku di $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Langkah 8.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

Langkah 8.1.2.1.2

Bagilah $48 - x^{2}$ dengan $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

Langkah 8.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

Langkah 8.2

Kurangkan $48$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x^{2} \geq - 48$

Langkah 8.3

Bagi setiap suku pada $- x^{2} \geq - 48$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagi setiap suku dalam $- x^{2} \geq - 48$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Bagilah $- 48$ dengan $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

Langkah 8.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

Langkah 8.5

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq \sqrt{48}$

Langkah 8.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1

Sederhanakan $\sqrt{48}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1.1

Tulis kembali $48$ sebagai $4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1.1.1

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

Langkah 8.5.2.1.1.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Langkah 8.5.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

Langkah 8.5.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $4$ adalah $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

Langkah 8.6

Tulis $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 8.6.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

Langkah 8.6.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 8.6.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

Langkah 8.6.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 8.7

Tentukan irisan dari $x \leq 4 \sqrt{3}$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Langkah 8.8

Selesaikan $- x \leq 4 \sqrt{3}$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.1

Bagi setiap suku pada $- x \leq 4 \sqrt{3}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq 4 \sqrt{3}$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Langkah 8.8.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Langkah 8.8.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

Langkah 8.8.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.1.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

Langkah 8.8.1.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ sebagai $- (4 \sqrt{3})$ .

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

Langkah 8.8.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

Langkah 8.8.2

Tentukan irisan dari $x \geq - 4 \sqrt{3}$ dan $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

Langkah 8.9

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- 8, 8]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

Daerah hasil: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Langkah 12