Matematika Berhingga Contoh

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Langkah 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 9$ .

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9}) = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan $- 9 (- \frac{y^{2}}{9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y^{2}}{9}$ ke dalam pembilangnya.

$- 9 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3.1.1.1.2

Faktorkan $9$ dari $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3.1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3.1.1.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3.1.1.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $- 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = - 9 \cdot 1 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 9 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $- 9 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$y^{2} = - 9 + 9 \frac{x^{2}}{4}$

Langkah 3.2.1.3.2

Gabungkan $9$ dan $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

Langkah 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $9 x^{2}$ sebagai ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ sebagai ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Langkah 5.4.2

Susun kembali $- 3^{2}$ dan ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

Langkah 5.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \frac{3 x}{2}$ dan $b = 3$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x}{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Langkah 5.6.1.2

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Langkah 5.6.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Langkah 5.6.2

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x}{2} - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

Langkah 5.6.2.2

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

Langkah 5.6.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

Langkah 5.6.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

Langkah 5.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

Langkah 5.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

Langkah 5.9

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Langkah 5.10

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Langkah 5.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 5.12

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

Langkah 5.13

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.13.1

Gabungkan $9$ dan $\frac{x + 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

Langkah 5.13.2

Kalikan $\frac{9 (x + 2)}{2}$ dengan $\frac{x - 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

Langkah 5.13.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

Langkah 5.14

Tulis kembali $\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ sebagai ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.14.1

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9 (x + 2) (x - 2)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

Langkah 5.14.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

Langkah 5.14.3

Susun kembali pecahan $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Langkah 5.15

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Langkah 5.16

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Langkah 6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Langkah 6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 8.2

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 8.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 8.3

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 8.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ benar.

$x = - 2, 2$

Langkah 8.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 8.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 8.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Langkah 8.6.1.3

Sisi kiri $12$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.2

Uji nilai pada interval $- 2 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 8.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Langkah 8.6.2.3

Sisi kiri $- 4$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 8.6.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Langkah 8.6.3.3

Sisi kiri $12$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 8.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 2$ atau $x \geq 2$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \in ℝ}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Daerah hasil: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Langkah 12