Matematika Berhingga Contoh

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{225}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Langkah 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $625$ .

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Langkah 3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $625$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $625$ dengan $1$ .

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

Langkah 3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{225}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

Langkah 3.2.1.3.2

Faktorkan $25$ dari $625$ .

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

Langkah 3.2.1.3.3

Faktorkan $25$ dari $225$ .

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Langkah 3.2.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

Langkah 3.2.1.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

Langkah 3.2.1.4

Gabungkan $25$ dan $\frac{- x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

Langkah 3.2.1.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

Langkah 3.2.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

Langkah 4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali $625$ sebagai $25^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali $\frac{25 x^{2}}{9}$ sebagai ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

Langkah 5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 25$ dan $b = \frac{5 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $25$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $25$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $5$ dari $25 \cdot 3 + 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Faktorkan $5$ dari $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.5.1.2

Faktorkan $5$ dari $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.5.1.3

Faktorkan $5$ dari $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.5.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.6

Untuk menuliskan $25$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $25$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

Langkah 5.7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

Langkah 5.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Faktorkan $5$ dari $25 \cdot 3 - 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.1

Faktorkan $5$ dari $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

Langkah 5.8.1.2

Faktorkan $5$ dari $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

Langkah 5.8.1.3

Faktorkan $5$ dari $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

Langkah 5.8.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

Langkah 5.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Kalikan $\frac{5 (15 + x)}{3}$ dengan $\frac{5 (15 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

Langkah 5.9.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.2.1

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

Langkah 5.9.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

Langkah 5.10

Tulis kembali $\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ sebagai ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Faktorkan kuadrat sempurna $5^{2}$ dari $25 (15 + x) (15 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

Langkah 5.10.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Langkah 5.10.3

Susun kembali pecahan $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

Langkah 5.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

Langkah 5.12

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Langkah 6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Langkah 6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

Langkah 8.2

Atur $15 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Atur $15 + x$ sama dengan $0$ .

$15 + x = 0$

Langkah 8.2.2

Kurangkan $15$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 15$

Langkah 8.3

Atur $15 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Atur $15 - x$ sama dengan $0$ .

$15 - x = 0$

Langkah 8.3.2

Selesaikan $15 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kurangkan $15$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 15$

Langkah 8.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 15$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 15$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.3.1

Bagilah $- 15$ dengan $- 1$ .

$x = 15$

Langkah 8.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 15, 15$

Langkah 8.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Langkah 8.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 15$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 15$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 18$

Langkah 8.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 18$ pada pertidaksamaan asal.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

Langkah 8.6.1.3

Sisi kiri $- 99$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 8.6.2

Uji nilai pada interval $- 15 < x < 15$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 15 < x < 15$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 8.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

Langkah 8.6.2.3

Sisi kiri $225$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 8.6.3

Uji nilai pada interval $x > 15$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 15$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 18$

Langkah 8.6.3.2

Ganti $x$ dengan $18$ pada pertidaksamaan asal.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

Langkah 8.6.3.3

Sisi kiri $- 99$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 8.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 15$ Salah

$- 15 < x < 15$ Benar

$x > 15$ Salah

$x < - 15$ Salah

$- 15 < x < 15$ Benar

$x > 15$ Salah

Langkah 8.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 15 \leq x \leq 15$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 15, 15]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- 25, 25]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

Daerah hasil: $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

Langkah 12