Matematika Berhingga Contoh

(9, 8)

$(9, 8)$ ,

(9, 3)

$(9, 3)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan

9

$9$ dengan

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan

8

$8$ dengan

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Langkah 2.2.2

Tambahkan

81

$81$ dan

24

$24$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Langkah 3

Tentukan besaran dari

a⃗

$a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan

9

$9$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan

8

$8$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan

81

$81$ dan

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari

b⃗

$b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan

9

$9$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan

3

$3$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan

81

$81$ dan

9

$9$ .

| b⃗ | = \sqrt{90}

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali

90

$90$ sebagai

3^{2} \cdot 10

$3^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Faktorkan

9

$9$ dari

90

$90$ .

| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali

9

$9$ sebagai

3^{2}

$3^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Langkah 4.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari

105

$105$ dan

3

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan

3

$3$ dari

105

$105$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan

3

$3$ dari

\sqrt{145} (3 \sqrt{10})

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan

$145$ dengan

$10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali

$1450$ sebagai

$5^{2} \cdot 58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Faktorkan

$25$ dari

$1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Langkah 6.3.1.2

Tulis kembali

$25$ sebagai

$5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Langkah 6.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Langkah 6.4

Hapus faktor persekutuan dari

$35$ dan

$5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan

$5$ dari

$35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Faktorkan

$5$ dari

$5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Langkah 6.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Langkah 6.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Langkah 6.5

Kalikan

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ dengan

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Langkah 6.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ dengan

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Langkah 6.6.2

Naikkan

$\sqrt{58}$ menjadi pangkat

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Langkah 6.6.3

Naikkan

$\sqrt{58}$ menjadi pangkat

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Langkah 6.6.4

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.6.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Langkah 6.6.6

Tulis kembali

${\sqrt{58}}^{2}$ sebagai

$58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.6.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{58}$ sebagai

$58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.6.6.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Langkah 6.6.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Langkah 6.7

Evaluasi

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$