Matematika Berhingga Contoh

$(9, 8)$ , $(9, 3)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $81$ dan $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $81$ dan $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $81$ dan $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali $90$ sebagai $3^{2} \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Faktorkan $9$ dari $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Langkah 4.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $105$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $3$ dari $105$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $145$ dengan $10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali $1450$ sebagai $5^{2} \cdot 58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Faktorkan $25$ dari $1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Langkah 6.3.1.2

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Langkah 6.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Langkah 6.4

Hapus faktor persekutuan dari $35$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $5$ dari $35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Langkah 6.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Langkah 6.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Langkah 6.5

Kalikan $\frac{7}{\sqrt{58}}$ dengan $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Langkah 6.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan $\frac{7}{\sqrt{58}}$ dengan $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Langkah 6.6.2

Naikkan $\sqrt{58}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Langkah 6.6.3

Naikkan $\sqrt{58}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Langkah 6.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Langkah 6.6.6

Tulis kembali ${\sqrt{58}}^{2}$ sebagai $58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{58}$ sebagai $58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.6.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Langkah 6.6.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Langkah 6.7

Evaluasi $\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$