Matematika Berhingga Contoh

$f (x) = x^{2} + x$ , $[- 1, 2]$

Langkah 1

Teorema Nilai Antara menyatakan bahwa, jika $f$ adalah fungsi kontinu dengan bilangan riil pada interval $[a, b]$ , dan $u$ adalah bilangan antara $f (a)$ dan $f (b)$ , maka ada $c$ yang termuat dalam interval $[a, b]$ , seperti $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Hitung $f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Langkah 3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Langkah 3.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (- 1) = 0$

Langkah 4

Hitung $f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Langkah 4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = 4 + 2$

Langkah 4.3

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$f (2) = 6$

Langkah 5

Karena $0$ berada pada interval $[0, 6]$ , selesaikan persamaan untuk $x$ pada akar dengan mengatur $y$ ke $0$ dalam $y = x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} + x = 0$ .

$x^{2} + x = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Langkah 5.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 5.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 5.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1$

Langkah 6

Teorema Nilai Antara menyatakan bahwa ada akar $f (c) = 0$ pada interval $[0, 6]$ karena $f$ adalah fungsi yang kontinu pada $[- 1, 2]$ .

Akar-akar pada interval $[- 1, 2]$ berada pada $x = 0, x = - 1$ .

Langkah 7