Matematika Berhingga Contoh

$- 25 - 9 y - z = - 16$ , $- 15 - 15 y - 2 z = 26$ , $20 x + 9 y + z = 6$

Langkah 1

Move variables to the left and constant terms to the right.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung variabel ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $25$ ke kedua sisi persamaan.

$- 9 y - z = - 16 + 25$

$- 15 - 15 y - 2 z = 26$

$20 x + 9 y + z = 6$

Langkah 1.1.2

Tambahkan $- 16$ dan $25$ .

$- 9 y - z = 9$

$- 15 - 15 y - 2 z = 26$

$20 x + 9 y + z = 6$

$- 9 y - z = 9$

$- 15 - 15 y - 2 z = 26$

$20 x + 9 y + z = 6$

Langkah 1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung variabel ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $15$ ke kedua sisi persamaan.

$- 9 y - z = 9$

$- 15 y - 2 z = 26 + 15$

$20 x + 9 y + z = 6$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $26$ dan $15$ .

$- 9 y - z = 9$

$- 15 y - 2 z = 41$

$20 x + 9 y + z = 6$

$- 9 y - z = 9$

$- 15 y - 2 z = 41$

$20 x + 9 y + z = 6$

$- 9 y - z = 9$

$- 15 y - 2 z = 41$

$20 x + 9 y + z = 6$

Langkah 2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & - 9 & - 1 & 9 \\ 0 & - 15 & - 2 & 41 \\ 20 & 9 & 1 & 6 \end{array}]$

Langkah 3

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 20 & 9 & 1 & 6 \\ 0 & - 15 & - 2 & 41 \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Langkah 3.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{20}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{20}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{20}{20} & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{6}{20} \\ 0 & - 15 & - 2 & 41 \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & - 15 & - 2 & 41 \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Langkah 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{15}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{15}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot - 2 & - \frac{1}{15} \cdot 41 \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Langkah 3.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & - 1 + 9 (\frac{2}{15}) & 9 + 9 (- \frac{41}{15}) \end{array}]$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{78}{5} \end{array}]$

Langkah 3.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $5$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $5$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{78}{5}) \end{array}]$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Langkah 3.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{15} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{15} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 - \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 - \frac{2}{15} \cdot 0 & \frac{2}{15} - \frac{2}{15} \cdot 1 & - \frac{41}{15} - \frac{2}{15} \cdot - 78 \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Langkah 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{20} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{20} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{20} \cdot 0 & \frac{9}{20} - \frac{1}{20} \cdot 0 & \frac{1}{20} - \frac{1}{20} \cdot 1 & \frac{3}{10} - \frac{1}{20} \cdot - 78 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Langkah 3.7.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & 0 & \frac{21}{5} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Langkah 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{9}{20} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{9}{20} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{9}{20} \cdot 0 & \frac{9}{20} - \frac{9}{20} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{20} \cdot 0 & \frac{21}{5} - \frac{9}{20} \cdot \frac{23}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Langkah 4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = \frac{3}{4}$

$y = \frac{23}{3}$

$z = - 78$

Langkah 5

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(\frac{3}{4}, \frac{23}{3}, - 78)$