Matematika Berhingga Contoh

$[\begin{array}{c} 0.2 & 0 & - 0.02 \\ 0 & 0.5 & - 0.05 \\ 0 & - 0.5 & 0.15 \end{array}]$

Langkah 1

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.5 & - 0.05 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} |$

Langkah 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0.2 | \begin{array}{c} 0.5 & - 0.05 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} |$

Langkah 1.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} |$

Langkah 1.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} |$

Langkah 1.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ 0.5 & - 0.05 \end{array} |$

Langkah 1.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ 0.5 & - 0.05 \end{array} |$

Langkah 1.1.9

Add the terms together.

$0.2 | \begin{array}{c} 0.5 & - 0.05 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ 0.5 & - 0.05 \end{array} |$

Langkah 1.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} |$ .

$0.2 | \begin{array}{c} 0.5 & - 0.05 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ 0.5 & - 0.05 \end{array} |$

Langkah 1.3

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 0 & - 0.02 \\ 0.5 & - 0.05 \end{array} |$ .

$0.2 | \begin{array}{c} 0.5 & - 0.05 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} | + 0 + 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 0.5 & - 0.05 \\ - 0.5 & 0.15 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0.2 (0.5 \cdot 0.15 - (- 0.5 \cdot - 0.05)) + 0 + 0$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Kalikan $0.5$ dengan $0.15$ .

$0.2 (0.075 - (- 0.5 \cdot - 0.05)) + 0 + 0$

Langkah 1.4.2.1.2

Kalikan $- (- 0.5 \cdot - 0.05)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.2.1

Kalikan $- 0.5$ dengan $- 0.05$ .

$0.2 (0.075 - 1 \cdot 0.025) + 0 + 0$

Langkah 1.4.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.025$ .

$0.2 (0.075 - 0.025) + 0 + 0$

Langkah 1.4.2.2

Kurangi $0.025$ dengan $0.075$ .

$0.2 \cdot 0.05 + 0 + 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $0.2$ dengan $0.05$ .

$0.01 + 0 + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $0.01$ dan $0$ .

$0.01 + 0$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $0.01$ dan $0$ .

$0.01$

Langkah 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 0.2 & 0 & - 0.02 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & - 0.05 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.15 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.2}{0.2} & \frac{0}{0.2} & \frac{- 0.02}{0.2} & \frac{1}{0.2} & \frac{0}{0.2} & \frac{0}{0.2} \\ 0 & 0.5 & - 0.05 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.15 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & - 0.05 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.15 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ \frac{0}{0.5} & \frac{0.5}{0.5} & \frac{- 0.05}{0.5} & \frac{0}{0.5} & \frac{1}{0.5} & \frac{0}{0.5} \\ 0 & - 0.5 & 0.15 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.15 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 0.5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 0.5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 + 0.5 \cdot 0 & - 0.5 + 0.5 \cdot 1 & 0.15 + 0.5 \cdot - 0.1 & 0 + 0.5 \cdot 0 & 0 + 0.5 \cdot 2 & 1 + 0.5 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0.1 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{0.1}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{0.1}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1 & 0 & 2 & 0 \\ \frac{0}{0.1} & \frac{0}{0.1} & \frac{0.1}{0.1} & \frac{0}{0.1} & \frac{1}{0.1} & \frac{1}{0.1} \end{array}]$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 10 \end{array}]$

Langkah 4.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.1 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.1 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 + 0.1 \cdot 0 & 1 + 0.1 \cdot 0 & - 0.1 + 0.1 \cdot 1 & 0 + 0.1 \cdot 0 & 2 + 0.1 \cdot 10 & 0 + 0.1 \cdot 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 10 \end{array}]$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 0.1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 10 \end{array}]$

Langkah 4.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.1 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.1 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0.1 \cdot 0 & 0 + 0.1 \cdot 0 & - 0.1 + 0.1 \cdot 1 & 5 + 0.1 \cdot 0 & 0 + 0.1 \cdot 10 & 0 + 0.1 \cdot 10 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 10 \end{array}]$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 5 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 10 & 10 \end{array}]$

Langkah 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 10 & 10 \end{array}]$