Matematika Berhingga Contoh

$[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 + 0 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $36$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $27$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $21$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $- 26$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $10$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2

Evaluasi $| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) ((- 3 - λ) (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Perluas $(- 3 - λ) (- 6 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Tambahkan $3 λ$ dan $6 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.3

Kalikan $- 10$ dengan $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 210) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $210$ dengan $18$ .

$p (λ) = (28 - λ) (9 λ + λ^{2} - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.3

Susun kembali $9 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 (- 6 - λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 \cdot - 6 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.2

Kalikan $27$ dengan $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.4

Kalikan $- (- 26 \cdot 21)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.4.1

Kalikan $- 26$ dengan $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - - 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ + 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.2

Tambahkan $- 162$ dan $546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Langkah 5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (27 \cdot 10 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Kalikan $27$ dengan $10$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Langkah 5.4.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 \cdot - 3 - 26 (- λ)))$

Langkah 5.4.2.1.3

Kalikan $- 26$ dengan $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 - 26 (- λ)))$

Langkah 5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 26$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 + 26 λ))$

Langkah 5.4.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 1 \cdot 78 - (26 λ))$

Langkah 5.4.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $78$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - (26 λ))$

Langkah 5.4.2.1.7

Kalikan $26$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - 26 λ)$

Langkah 5.4.2.2

Kurangi $78$ dengan $270$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (192 - 26 λ)$

Langkah 5.4.2.3

Susun kembali $192$ dan $- 26 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Perluas $(28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 28 (9 λ) + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.1

Kalikan $9$ dengan $28$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.2

Kalikan $28$ dengan $- 192$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{2 + 1} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.2.7

Kalikan $- 192$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.3

Kurangi $9 λ^{2}$ dengan $28 λ^{2}$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.4

Tambahkan $252 λ$ dan $192 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.5

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ) - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.6

Kalikan $- 27$ dengan $- 4$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.7

Kalikan $- 4$ dengan $384$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ + 192)$

Langkah 5.5.1.8

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ) + 36 \cdot 192$

Langkah 5.5.1.9

Kalikan $- 26$ dengan $36$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 36 \cdot 192$

Langkah 5.5.1.10

Kalikan $36$ dengan $192$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 6912$

Langkah 5.5.2

Tambahkan $444 λ$ dan $108 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 552 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 - 936 λ + 6912$

Langkah 5.5.3

Kurangi $936 λ$ dengan $552 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 + 6912$

Langkah 5.5.4

Kurangi $1536$ dengan $- 5376$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$

Langkah 5.5.5

Gabungkan suku balikan dalam $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Tambahkan $- 6912$ dan $6912$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} + 0$

Langkah 5.5.5.2

Tambahkan $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$ dan $0$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$

Langkah 5.5.6

Pindahkan $- 384 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - λ^{3} - 384 λ$

Langkah 5.5.7

Susun kembali $19 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $- λ$ dari $- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $- λ$ dari $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $- λ$ dari $19 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - 384 λ = 0$

Langkah 7.1.3

Faktorkan $- λ$ dari $- 384 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Langkah 7.1.4

Faktorkan $- λ$ dari $- λ (λ^{2}) - λ (- 19 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $- λ$ dari $- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ (384)$ .

$- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Langkah 7.3

Atur $λ$ sama dengan $0$ .

$λ = 0$

Langkah 7.4

Atur $λ^{2} - 19 λ + 384$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $λ^{2} - 19 λ + 384$ sama dengan $0$ .

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Langkah 7.4.2

Selesaikan $λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 19$ , dan $c = 384$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 384)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.1

Naikkan $- 19$ menjadi pangkat $2$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 384$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $384$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 1536}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.3

Kurangi $1536$ dengan $361$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1175}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.4

Tulis kembali $- 1175$ sebagai $- 1 (1175)$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1175}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (1175)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.7

Tulis kembali $1175$ sebagai $5^{2} \cdot 47$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.3.1.7.1

Faktorkan $25$ dari $1175$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{25 (47)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.7.2

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 47}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$λ = \frac{19 \pm i \cdot (5 \sqrt{47})}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.1.9

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $i$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2}$

Langkah 7.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$

Langkah 7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$ benar.

$λ = 0, \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$