Matematika Berhingga Contoh

$[\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 + 0 & 24 + 0 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $22$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 + 0 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $24$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $15$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $91$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $12$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Tambahkan $38$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 & 38 & 27 - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(42 - λ) | \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$

Langkah 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (42 - λ) | \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} | - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2

Evaluasi $| \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) ((58 - λ) (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Perluas $(58 - λ) (27 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (42 - λ) (58 (27 - λ) - λ (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (42 - λ) (58 \cdot 27 + 58 (- λ) - λ (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (42 - λ) (58 \cdot 27 + 58 (- λ) - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.1

Kalikan $58$ dengan $27$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 + 58 (- λ) - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $58$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.3

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ + 1 λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ + λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Kurangi $27 λ$ dengan $- 58 λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 85 λ + λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.1.3

Kalikan $- 38$ dengan $91$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 85 λ + λ^{2} - 3458) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $3458$ dengan $1566$ .

$p (λ) = (42 - λ) (- 85 λ + λ^{2} - 1892) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.2.2.3

Susun kembali $- 85 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (15 (27 - λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (15 \cdot 27 + 15 (- λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.2

Kalikan $15$ dengan $27$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 + 15 (- λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $15$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 - 15 λ - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $91$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 - 15 λ - 1092) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.3.2.2

Kurangi $1092$ dengan $405$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Langkah 5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (15 \cdot 38 - 12 (58 - λ))$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Kalikan $15$ dengan $38$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 12 (58 - λ))$

Langkah 5.4.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 12 \cdot 58 - 12 (- λ))$

Langkah 5.4.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $58$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 696 - 12 (- λ))$

Langkah 5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 696 + 12 λ)$

Langkah 5.4.2.2

Kurangi $696$ dengan $570$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (- 126 + 12 λ)$

Langkah 5.4.2.3

Susun kembali $- 126$ dan $12 λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Perluas $(42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = 42 λ^{2} + 42 (- 85 λ) + 42 \cdot - 1892 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.1

Kalikan $- 85$ dengan $42$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ + 42 \cdot - 1892 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.2

Kalikan $42$ dengan $- 1892$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - (λ^{2} λ) - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{2 + 1} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 λ \cdot λ - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.2.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 λ^{2} - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 85$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 85 λ^{2} - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.2.7

Kalikan $- 1892$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 85 λ^{2} + 1892 λ - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.3

Tambahkan $42 λ^{2}$ dan $85 λ^{2}$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 1892 λ - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.4

Tambahkan $- 3570 λ$ dan $1892 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.5

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} - 22 (- 15 λ) - 22 \cdot - 687 + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.6

Kalikan $- 15$ dengan $- 22$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ - 22 \cdot - 687 + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.7

Kalikan $- 22$ dengan $- 687$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 24 (12 λ - 126)$

Langkah 5.5.1.8

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 24 (12 λ) + 24 \cdot - 126$

Langkah 5.5.1.9

Kalikan $12$ dengan $24$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 288 λ + 24 \cdot - 126$

Langkah 5.5.1.10

Kalikan $24$ dengan $- 126$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 288 λ - 3024$

Langkah 5.5.2

Tambahkan $- 1678 λ$ dan $330 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1348 λ - 79464 - λ^{3} + 15114 + 288 λ - 3024$

Langkah 5.5.3

Tambahkan $- 1348 λ$ dan $288 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - 79464 - λ^{3} + 15114 - 3024$

Langkah 5.5.4

Tambahkan $- 79464$ dan $15114$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - λ^{3} - 64350 - 3024$

Langkah 5.5.5

Kurangi $3024$ dengan $- 64350$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - λ^{3} - 67374$

Langkah 5.5.6

Pindahkan $- 1060 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - λ^{3} - 1060 λ - 67374$

Langkah 5.5.7

Susun kembali $127 λ^{2}$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 127 λ^{2} - 1060 λ - 67374$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 127 λ^{2} - 1060 λ - 67374 = 0$

Langkah 7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$λ \approx - 18.19789578, 32.99704063$