Matematika Berhingga Contoh

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

$2$ adalah matriks persegi

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$ untuk

$A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan

$- 5$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan

$2$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & 0 - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Kurangi

$λ$ dengan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ) - 2 \cdot - 5$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = - 3 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 3$ .

$p (λ) = 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1.1

Pindahkan

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.4.1.2

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.4.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.4.3

Kalikan

$λ^{2}$ dengan

$1$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 5$

Langkah 5.2.1.5

Kalikan

$- 2$ dengan

$- 5$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} + 10$

Langkah 5.2.2

Susun kembali

$3 λ$ dan

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 3 λ + 10$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

$0$ untuk menemukan nilai eigen

$λ$ .

$λ^{2} + 3 λ + 10 = 0$

Langkah 7

Selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai

$a = 1$ ,

$b = 3$ , dan

$c = 10$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

$λ$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Naikkan

$3$ menjadi pangkat

$2$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$10$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Kurangi

$40$ dengan

$9$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali

$- 31$ sebagai

$- 1 (31)$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Tulis kembali

$\sqrt{- 1 (31)}$ sebagai

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.6

Tulis kembali

$\sqrt{- 1}$ sebagai

$i$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Langkah 7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$