Kalkulus Contoh

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$4 x - x^{2} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $4 x - x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $u$ dari $4 u - u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Faktorkan $u$ dari $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Langkah 1.2.1.2.2

Faktorkan $u$ dari $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Langkah 1.2.1.2.3

Faktorkan $u$ dari $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Langkah 1.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

Langkah 1.2.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $4 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $4 - x$ sama dengan $0$ .

$4 - x = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $4 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 4$

Langkah 1.2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.4.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 1.2.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = 4$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (4 - x) = 0$ benar.

$x = 0, 4$

Langkah 1.3

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Langkah 2

Susun kembali $4 x$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $1$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Langkah 4.2

Kurangi $0$ dengan $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Langkah 4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Langkah 4.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Langkah 4.7

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Langkah 4.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Langkah 4.9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Langkah 4.9.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $3$ dan pada $1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.2.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.4

Untuk menuliskan $9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.5

Gabungkan $9$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.7.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.7.2

Kurangi $1$ dengan $27$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Langkah 4.9.2.3.9

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Langkah 4.9.2.3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

Langkah 4.9.2.3.11

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

Langkah 4.9.2.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.12.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Langkah 4.9.2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Langkah 4.9.2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.9.2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

Langkah 4.9.2.3.12.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

Langkah 4.9.2.3.13

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$- \frac{26}{3} + 16$

Langkah 4.9.2.3.14

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 4.9.2.3.15

Gabungkan $16$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.9.2.3.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.9.2.3.17

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.2.3.17.1

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$\frac{- 26 + 48}{3}$

Langkah 4.9.2.3.17.2

Tambahkan $- 26$ dan $48$ .

$\frac{22}{3}$

Langkah 5