Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ sebagai ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$