Kalkulus Contoh

$x e^{x}$

Langkah 1

Tulis $x e^{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x} + e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Langkah 3.2.2

Kalikan dengan $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (x + 1) = 0$ benar.

$x = - 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = x e^{x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

Langkah 6.2.1.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Langkah 6.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Langkah 6.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Langkah 6.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- \frac{1}{e^{2}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Langkah 7.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 7.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, \infty)$ .

Meningkat pada $(- 1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 1, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 1)$

Langkah 9