Kalkulus Contoh

x e^{x}

$x e^{x}$

Langkah 1

Tulis

x e^{x}

$x e^{x}$ sebagai fungsi.

f (x) = x e^{x}

$f (x) = x e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana

f (x) = x

$f (x) = x$ dan

g (x) = e^{x}

$g (x) = e^{x}$ .

x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ di mana

a

$a$ =

e

$e$ .

x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

x e^{x} + e^{x} \cdot 1

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan

e^{x}

$e^{x}$ dengan

1

$1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari

$f (x)$ terhadap

$x$ adalah

$x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan

$0$ dan selesaikan persamaan

$x e^{x} + e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan

$0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan

$e^{x}$ dari

$x e^{x} + e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan

$e^{x}$ dari

$x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Langkah 3.2.2

Kalikan dengan

$1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan

$e^{x}$ dari

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur

$e^{x}$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur

$e^{x}$ sama dengan

$0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan

$e^{x} = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena

$\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk

$e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur

$x + 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur

$x + 1$ sama dengan

$0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Kurangkan

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$e^{x} (x + 1) = 0$ benar.

$x = - 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan

$0$ adalah

$- 1$ .

$- 1$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ sama dengan

$0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana

$f (x) = x e^{x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval

$(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

Langkah 6.2.1.2

Gabungkan

$- 2$ dan

$\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Langkah 6.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Langkah 6.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Tambahkan

$- 2$ dan

$1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Langkah 6.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 6.3

Pada

$x = - 2$ , turunannya adalah

$- \frac{1}{e^{2}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada

$(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada

$(- \infty, - 1)$ karena

$f' (x) < 0$

Menurun pada

$(- \infty, - 1)$ karena

$f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval

$(- 1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Langkah 7.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Langkah 7.2.2

Tambahkan

$0$ dan

$1$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah

$1$ .

$1$

Langkah 7.3

Pada

$x = 0$ , turunannya adalah

$1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada

$(- 1, \infty)$ .

Meningkat pada

$(- 1, \infty)$ karena

$f' (x) > 0$

Meningkat pada

$(- 1, \infty)$ karena

$f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada:

$(- 1, \infty)$

Menurun pada:

$(- \infty, - 1)$

Langkah 9