Kalkulus Contoh

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x}

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x}$

Langkah 1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Langkah 1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.2

Turunan dari

\ln (x)

$\ln (x)$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot 1

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot 1$

Langkah 5

Kalikan

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ dengan

1

$1$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$

Langkah 6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ mendekati

0

$0$ .

0

$0$