Kalkulus Contoh

$x = 2 y - y^{2}$

Langkah 1

Susun kembali $2 y$ dan $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 2 y$

Langkah 2

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Selesaikan kuadrat dari $- y^{2} + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Langkah 2.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 2.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 2.1.1.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{1}{- 1}$

Langkah 2.1.1.3.2.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.1.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 2.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 2.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Langkah 2.1.1.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Langkah 2.1.1.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e = 1$

Langkah 2.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(y - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

Langkah 2.1.2

Aturlah $x$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$x = - {(y - 1)}^{2} + 1$

Langkah 2.2

Gunakan bentuk directrix, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

Langkah 2.3

Karena nilai dari $a$ negatif, parabolanya membuka ke kiri.

Membuka ke Kiri

Langkah 2.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(1, 1)$

Langkah 2.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 2.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Langkah 2.5.3

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Langkah 2.5.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{4}$

Langkah 2.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat x $h$ jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$(h + p, k)$

Langkah 2.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\frac{3}{4}, 1)$

Langkah 2.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$y = 1$

Langkah 2.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Garis arah parabola adalah garis tegak yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat x $h$ dari verteks jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$x = h - p$

Langkah 2.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $h$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$x = \frac{5}{4}$

Langkah 2.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Kiri

Verteks: $(1, 1)$

Fokus: $(\frac{3}{4}, 1)$

Sumbu Simetri: $y = 1$

Direktriks: $x = \frac{5}{4}$

Arah: Membuka ke Kiri

Verteks: $(1, 1)$

Fokus: $(\frac{3}{4}, 1)$

Sumbu Simetri: $y = 1$

Direktriks: $x = \frac{5}{4}$

Langkah 3

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai $x$ $- 1$ ke dalam $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 1, 2.41421356)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 - (- 1)}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 + 1}$

Langkah 3.1.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{2}$

Langkah 3.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1 + \sqrt{2}$ .

$y = 1 + \sqrt{2}$

Langkah 3.1.3

Konversikan $1 + \sqrt{2}$ ke desimal.

$= 2.41421356$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai $x$ $- 1$ ke dalam $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 1, - 0.41421356)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 - (- 1)}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 + 1}$

Langkah 3.2.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{2}$

Langkah 3.2.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1 - \sqrt{2}$ .

$y = 1 - \sqrt{2}$

Langkah 3.2.3

Konversikan $1 - \sqrt{2}$ ke desimal.

$= - 0.41421356$

Langkah 3.3

Substitusikan nilai $x$ $0$ ke dalam $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(0, 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 1 + \sqrt{1 - (0)}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1 + 0}$

Langkah 3.3.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1}$

Langkah 3.3.2.1.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (0) = 2$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 3.3.3

Konversikan $2$ ke desimal.

$= 2$

Langkah 3.4

Substitusikan nilai $x$ $0$ ke dalam $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(0, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 1 - \sqrt{1 - (0)}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1 + 0}$

Langkah 3.4.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1}$

Langkah 3.4.2.1.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (0) = 1 - 1 \cdot 1$

Langkah 3.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (0) = 1 - 1$

Langkah 3.4.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (0) = 0$

Langkah 3.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 3.4.3

Konversikan $0$ ke desimal.

$= 0$

Langkah 3.5

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Langkah 4

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Kiri

Verteks: $(1, 1)$

Fokus: $(\frac{3}{4}, 1)$

Sumbu Simetri: $y = 1$

Direktriks: $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Langkah 5