Kalkulus Contoh

$y = x + 2 \sin (x)$

Langkah 1

Tulis $y = x + 2 \sin (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (x))$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sin (x)$

Langkah 3.3

Kurangi $2 \sin (x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 5

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (x) = - 1$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 7

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 9

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 10

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 10.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 10.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 10.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{2 π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 2 \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 13.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \sqrt{3}$

Langkah 13.4

Tulis kembali $- 1 \sqrt{3}$ sebagai $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Langkah 14

$x = \frac{2 π}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{2 π}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{2 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Langkah 15.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 15.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 15.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Langkah 15.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{4 π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Langkah 17.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 17.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Langkah 17.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Langkah 17.4.2

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\sqrt{3}$

Langkah 18

$x = \frac{4 π}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{4 π}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{4 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{4 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Langkah 19.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Langkah 19.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x + 2 \sin (x)$ .

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} - \sqrt{3})$ adalah minimum lokal

Langkah 21