Kalkulus Contoh

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Langkah 1

Perluas ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(1 - \cos (x))}^{2}$ sebagai $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

Langkah 1.2

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Langkah 1.3

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Langkah 1.4

Terapkan sifat distributif.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Langkah 1.5

Pindahkan $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Langkah 1.6

Pindahkan $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.7

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.11

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.12

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Langkah 1.13

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Langkah 1.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Langkah 1.15

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Langkah 1.16

Kurangi $\cos (x)$ dengan $- \cos (x)$ .

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Langkah 4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Langkah 5

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

Langkah 6

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 10

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 14

Sederhanakan.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 16.2

Terapkan sifat distributif.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 16.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 16.4

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 16.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$