Kalkulus Contoh

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

Langkah 1

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ sebagai

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Langkah 2

Karena

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

y

$y$ , pindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Langkah 5

Biarkan

u = 2 y

$u = 2 y$ . Kemudian

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ sehingga

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan

u = 2 y

$u = 2 y$ . Tentukan

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 5.1.2

Karena

2

$2$ konstan terhadap

y

$y$ , turunan dari

2 y

$2 y$ terhadap

y

$y$ adalah

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan

2

$2$ dengan

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan

u

$u$ dan

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 6

Gabungkan

\cos (u)

$\cos (u)$ dan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 7

Karena

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

u

$u$ , pindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 8

Integral dari

\cos (u)

$\cos (u)$ terhadap

u

$u$ adalah

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 9

Sederhanakan.

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan

u

$u$ dengan

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Langkah 11.2

Terapkan sifat distributif.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Langkah 11.3

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

y

$y$ .

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Langkah 11.4

Kalikan

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Kalikan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dengan

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 11.4.2

Kalikan

2

$2$ dengan

2

$2$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$