Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x$

Langkah 1

Biarkan

$u_{2} = \sin (7 π x)$ . Kemudian

$d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x$ sehingga

$\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x$ . Tulis kembali menggunakan

$u_{2}$ dan

$d$

$u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan

$u_{2} = \sin (7 π x)$ . Tentukan

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan

$\sin (7 π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = \sin (x)$ dan

$g (x) = 7 π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u_{1}$ sebagai

$7 π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari

$\sin (u_{1})$ terhadap

$u_{1}$ adalah

$\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan

$u_{1}$ dengan

$7 π x$ .

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena

$7 π$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$7 π x$ terhadap

$x$ adalah

$7 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan

$7$ dengan

$1$ .

$\cos (7 π x) (7 π)$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan

$7$ ke sebelah kiri

$\cos (7 π x)$ .

$7 \cdot \cos (7 π x) π$

Langkah 1.1.3.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari

$7 \cos (7 π x) π$ .

$7 π \cos (7 π x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk

$x$ di

$u_{2} = \sin (7 π x)$ .

$u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan

$7 π \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan

$0$ dengan

$7$ .

$u_{lower} = \sin (0 π)$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$π$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari

$\sin (0)$ adalah

$0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk

$x$ di

$u_{2} = \sin (7 π x)$ .

$u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan

$7 π \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Gabungkan

$\frac{π}{2}$ dan

$7$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)$

Langkah 1.5.1.2

Gabungkan

$\frac{π \cdot 7}{2}$ dan

$π$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})$

Langkah 1.5.1.3

Naikkan

$π$ menjadi pangkat

$1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})$

Langkah 1.5.1.4

Naikkan

$π$ menjadi pangkat

$1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})$

Langkah 1.5.1.5

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})$

Langkah 1.5.1.6

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

Langkah 1.5.2

Evaluasi

$\sin (\frac{7 π^{2}}{2})$ .

$u_{upper} = 0.01390333$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

$u_{lower}$ dan

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0.01390333$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan

$u_{2}$ ,

$d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

Langkah 2

Gabungkan

$e^{u_{2}}$ dan

$\frac{1}{7 π}$ .

$\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}$

Langkah 3

Karena

$\frac{1}{7 π}$ konstan terhadap

$u_{2}$ , pindahkan

$\frac{1}{7 π}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Integral dari

$e^{u_{2}}$ terhadap

$u_{2}$ adalah

$e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi

$e^{u_{2}}$ pada

$0.01390333$ dan pada

$0$ .

$\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)$

Bentuk Desimal:

$0.00063663 \dots$