Kalkulus Contoh

$\int \sin (3 y) + \cos (2 y) d y$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \sin (3 y) d y + \int \cos (2 y) d y$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = 3 y$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d y$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = 3 y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 2.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (2 y) d y$

Langkah 3

Gabungkan $\sin (u_{1})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (2 y) d y$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 y) d y$

Langkah 5

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (2 y) d y$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = 2 y$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 7

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 y$ .

$- \frac{\cos (3 y)}{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{3} \cos (3 y) + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$