Kalkulus Contoh

$\int \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 3

Gabungkan $\sin (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 5

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 7

Gabungkan $\cos^{2} (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 9

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (u_{2})$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Langkah 14

Biarkan $u_{3} = 2 u_{2}$ . Kemudian $d u_{3} = 2 d u_{2}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Biarkan $u_{3} = 2 u_{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Diferensialkan $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Langkah 14.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{2}$ , turunan dari $2 u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Langkah 14.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 14.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 14.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Langkah 15

Gabungkan $\cos (u_{3})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Langkah 16

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

Langkah 17

Integral dari $\cos (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Sederhanakan.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Langkah 18.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 18.2.2

Gabungkan $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 18.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 18.2.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (u_{3})$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 18.2.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Langkah 18.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 (1)}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Langkah 18.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Langkah 18.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Langkah 18.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Langkah 19

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Langkah 19.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Langkah 19.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $2 u_{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 u_{2})}{2})}{2} + C$

Langkah 19.4

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2})}{2} + C$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2})}{2} + C$

Langkah 20.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Langkah 20.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Langkah 20.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Langkah 20.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Langkah 20.4

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Langkah 20.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \cos (2 x)$ .

$\frac{- (\cos (2 x)) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 21.2

Faktorkan $- 1$ dari $x$ .

$\frac{- (\cos (2 x)) - 1 (- x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 21.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\cos (2 x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 21.4

Faktorkan $- 1$ dari $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 21.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 21.6

Tulis kembali $- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ sebagai $- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ .

$\frac{- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Langkah 21.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 21.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\cos (2 x) - x - \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Langkah 21.9

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} (\cos (2 x) - x - \frac{1}{4} \sin (4 x)) + C$